[算法专题] 深度优先搜索&回溯剪枝
1. Palindrome Partitioning
https://leetcode.com/problems/palindrome-partitioning/
Given a string s, partition s such that every substring of the partition is a palindrome.
Return all possible palindrome partitioning of s.
For example, given s =
"aab",
Return[ ["aa","b"], ["a","a","b"] ]
/**
* author ： Jianxin Zhou
* email：zhoujx0219@163.com
*
* 该题dfs函数原型如下：
* void partitionHelper(const string &s, vector<vector<string>> &result, vector<string> &path, int pos)
*
* 以aaba举例。
* 1. 首先a为回文，然后对aba进行dfs
* 2. 之后回溯到a时，以aa为回文，然后对ba做dfs
* 3. 回溯到aa，试图以aab为回文，失败；试图以aaba为回文失败；结束。
*
* 注意：如果能顺利的找到一组回文，那么pos最终会等于s.size(),此时可以push到result。
* 如果找不到，例如之前的aaba不是回文，那么就会直接退出循环，没有机会执行下一步递归，也就没有pos等于s.size了。
*
* 实际上，此类题与真正的dfs的差别在于，dfs在回溯时，不会进行剪枝操作。而此类题，由于需要求出所有方案，所以需要剪枝。
*
*/
class Solution {
public:
vector<vector<string>> partition(string s) {
vector<vector<string>> result;
vector<string> path;
partitionHelper(s, result, path, 0);
return result;
}
private:
void partitionHelper(const string &s, vector<vector<string>> &result, vector<string> &path, int pos) {
// base case
if (pos == s.size()) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = pos; i < s.size(); i++) {
if (isPalindrome(s, pos, i)) {
path.push_back(s.substr(pos, i - pos + 1));
partitionHelper(s, result, path, i + 1);
path.pop_back();
}
}
}
bool isPalindrome(const string &s, int start, int end) {
while (start < end) {
if (s[start] == s[end]) {
start++;
end--;
} else {
break;
}
}
return start >= end;
}
};
2. Permutations
https://leetcode.com/problems/permutations/
Given a collection of numbers, return all possible permutations.
For example,
[1,2,3]have the following permutations:[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2], and[3,2,1].
具体可参加我之前写的文章：[LintCode] Permutations
/**
* 思路：dfs。
*
* 以123举例，
* 1. 首先以1作为head，然后对23做dfs
* 2. 回溯到1， 以2作为head，对13做dfs
* 3. 最后回溯到2，以3作为head，对12做dfs
*
* 注意：例如以2为head，对其余元素做dfs时，那么2不能再取，因此在进行下一轮dfs时，需要标记2为以访问过
*
*/
class Solution {
public:
vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
bool visited[nums.size()];
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
visited[i] = false;
}
sort(nums.begin(), nums.end());
dfs(nums, result, path, visited);
return result;
}
private:
void dfs(const vector<int> &nums, vector<vector<int>> &result, vector<int> &path, bool visited[]) {
// base case
if (path.size() == nums.size()) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (visited[i] == false) {
path.push_back(nums[i]);
visited[i] = true;
dfs(nums, result, path, visited);
path.pop_back();
visited[i] = false;
}
}
}
};
3. Permutations II
https://leetcode.com/problems/permutations-ii/
Given a collection of numbers that might contain duplicates, return all possible unique permutations.
For example,
[1,1,2]have the following unique permutations:[1,1,2],[1,2,1], and[2,1,1].
要点在于保证相同的数不在同一位置出现两次以上，可以参见我写的这篇文章：[LintCode] Permutations II
class Solution {
public:
/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: A list of unique permutations.
*/
vector<vector<int> > permuteUnique(vector<int> &nums) {
// write your code here
vector<vector<int>> paths;
if (nums.empty()) {
return paths;
}
sort(nums.begin(), nums.end());
bool *visited = new bool[nums.size()]();
vector<int> path;
permuteUniqueHelper(nums, visited, path, paths);
return paths;
}
private:
void permuteUniqueHelper(const vector<int> &nums,
bool visited[],
vector<int> &path,
vector<vector<int>> &paths) {
if (path.size() == nums.size()) {
paths.push_back(path);
return;
}
for (int ix = 0; ix < nums.size(); ix++) {
if (visited[ix] == true || ix > 0 && nums[ix - 1] == nums[ix] && visited[ix - 1] == false) {
continue;
}
visited[ix] = true;
path.push_back(nums[ix]);
permuteUniqueHelper(nums, visited, path, paths);
visited[ix] = false;
path.pop_back();
}
}
};
4 Subsets
https://leetcode.com/problems/subsets/
Given a set of distinct integers, nums, return all possible subsets.
Note:
- Elements in a subset must be in non-descending order.
- The solution set must not contain duplicate subsets.
For example,
If nums =[1,2,3], a solution is:[ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2], [] ]
/**
* 思路：找方案，一般都是使用搜索。
*
* 以123为例，在递归还没有开始前，先把空集push到result中，之后：
* 1. 以1位head，对23做dfs，所以pos需要加1，用于分支限界(1 12 13 123)
* 2. 回溯到1，以2为head，对3做dfs (2 23)
* 3. 回溯到3，以3为head，之后循环结束。 (3)
*
*
*/
class Solution {
public:
vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
// ensure that elements in a subset must be in non-descending order.
sort(nums.begin(), nums.end());
vector<vector<int>> res;
vector<int> path;
dfs(nums, res, path, 0);
return res;
}
private:
void dfs(const vector<int> &nums, vector<vector<int>> &res, vector<int> &path, int pos) {
res.push_back(path);
for (int i = pos; i < nums.size(); i++) {
path.push_back(nums[i]);
dfs(nums, res, path, i + 1);
path.pop_back();
}
}
};
5. Subsets II
https://leetcode.com/problems/subsets-ii/
Given a collection of integers that might contain duplicates, nums, return all possible subsets.
Note:
- Elements in a subset must be in non-descending order.
- The solution set must not contain duplicate subsets.
For example,
If nums =[1,2,2], a solution is:[ [2], [1], [1,2,2], [2,2], [1,2], [] ]
同一位置上，前面取过的数，后面就不要再重复取了，当然当i = pos时，这个数必然是第一次取。
class Solution {
public:
vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int> &nums) {
sort(nums.begin(), nums.end());
vector<vector<int>> res;
vector<int> path;
dfs(nums, res, path, 0);
return res;
}
private:
void dfs(const vector<int> &nums, vector<vector<int>> &res, vector<int> &path, int pos) {
res.push_back(path);
for (int i = pos; i < nums.size(); i++) {
if (i != pos && nums[i] == nums[i - 1]) {
continue;
}
path.push_back(nums[i]);
dfs(nums, res, path, i + 1);
path.pop_back();
}
}
};
6 Restore IP Addresses
https://leetcode.com/problems/restore-ip-addresses/
Given a string containing only digits, restore it by returning all possible valid IP address combinations.
For example:
Given"25525511135",return
["255.255.11.135", "255.255.111.35"]. (Order does not matter)
/**
* 该题思路与求回文划分相似
*/
class Solution {
public:
vector<string> restoreIpAddresses(string s) {
vector<string> res;
size_t len = s.size();
if (len < 4 || len > 12) {
return res;
}
vector<string> path;
dfs(s, res, path, 0);
return res;
}
private:
void dfs(const string &s, vector<string> &res, vector<string> &path, int pos) {
// base case
if (path.size() == 4) {
if (pos != s.size()) {
return;
}
string returnElem;
for (const auto &elem : path) {
returnElem += elem;
returnElem += ".";
}
returnElem.erase(returnElem.end() - 1);
res.push_back(returnElem);
return;
}
for (int i = pos; i < s.size() && i < pos + 3; i++) {
string tmp = s.substr(pos, i - pos + 1);
if (isValid(tmp)) {
path.push_back(tmp);
dfs(s, res, path, i + 1);
path.pop_back();
}
}
}
bool isValid(const string &s) {
// 排除 055 之类的数字
if (s[0] == '0' && s.size() > 1) {
return false;
}
int digit = atoi(s.c_str());
return 0 <= digit && digit <= 255;
}
};
7 N-Queens
http://www.lintcode.com/en/problem/n-queens/#
The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.
Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.
Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where
'Q'and'.'both indicate a queen and an empty space respectively.For example,
There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:[ [".Q..", // Solution 1 "...Q", "Q...", "..Q."], ["..Q.", // Solution 2 "Q...", "...Q", ".Q.."] ]
/**
* 思路：一行一行的取数，例如第一行的皇后放在第1个位置，第二行的皇后放在第3个位置，
* 以此类推，直到最后一行的皇后放在正确的位置，如此视为一个方案，push到result中
*
* 显然，本题使用dfs，每一行可取的位置从0-N-1，
* 需要注意的是，每一行在取位置的时候，需要判断有效性（是否可以相互攻击）。
*/
class Solution {
public:
/**
* Get all distinct N-Queen solutions
* @param n: The number of queens
* @return: All distinct solutions
* For example, A string '...Q' shows a queen on forth position
*/
vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
vector<vector<string>> res;
vector<int> visitedCol;
if (n <= 0) {
return res;
}
dfs(n, res, visitedCol);
return res;
}
private:
void dfs(const int n, vector<vector<string>> &res, vector<int> &visitedCol) {
// base case
if (visitedCol.size() == n) {
res.push_back(draw(visitedCol));
return;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (!isValid(visitedCol, i)) {
continue;
}
visitedCol.push_back(i);
dfs(n, res, visitedCol);
visitedCol.pop_back();
}
}
bool isValid(const vector<int> &visitedCol, const int currentCol) {
size_t currentRow = visitedCol.size();
for (int rowIndex = 0; rowIndex < visitedCol.size(); rowIndex++) {
if (currentCol == visitedCol[rowIndex]) {
return false;
}
if (currentRow + currentCol == rowIndex + visitedCol[rowIndex]) {
return false;
}
if (currentRow - currentCol == rowIndex - visitedCol[rowIndex]) {
return false;
}
}
return true;
}
vector<string> draw(const vector<int> &visitedCol) {
vector<string> ret;
string row;
for (const auto &elem : visitedCol) {
row.clear();
for (int i = 0; i < visitedCol.size(); i++) {
if (i == elem) {
row += "Q";
} else {
row += ".";
}
}
ret.push_back(row);
}
return ret;
}
};
8 Sudoku Solver
https://leetcode.com/problems/sudoku-solver/
Write a program to solve a Sudoku puzzle by filling the empty cells.
Empty cells are indicated by the character
'.'.You may assume that there will be only one unique solution.
A sudoku puzzle...
...and its solution numbers marked in red.
class Solution {
public:
void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
dfs (board, 0, 0);
}
private:
/**
* 该题需要对sudoku中每一个以‘.’标记的方格进行dfs，
* 1. 如果对当前方格的以1-9这9个数字进行遍历，都不合法，那么不会再往下一个方格进行dfs，直接回溯到上一个方格取下一个数。
* 2. 如果当前方格所取的数合法，那么继续对下一个方格进行dfs，依次下去如果一直合法，那么直到走到sudoku中的最后一个需要放数字的方格，
* 尝试完它的所有选择，再往上回溯。
* 然后，在这边我们只需要一个可行解即可，因此只要当前方格合法，往下的dfs返回true，那么即为一个解，直接返回。
*
*
*
*/
bool dfs(vector<vector<char>> &board, int x, int y) {
for (int i = 0; i < 9; i++) {
for (int j = 0; j < 9; j++) {
//dfs
if (board[i][j] == '.') {
// k从0-9走完才算走完,但是此处我们只要有一个解，就可以返回了，因此在以下循环中设置了return语句
for (int k = 0; k < 9; k++) {
bool flag;
if (!isValid(board, i ,j, k)) {
continue;
}
board[i][j] = '1' + k;
if (j != 8) {
flag = dfs(board, i, j + 1);
} else {
flag = dfs(board, i + 1, 0);
}
// 当前合法&&下一轮dfs合法，说明找到解
if (flag) {
return true;
}
board[i][j] = '.';
}
// 遍历完9个数，仍然找不到合适的解，则返回false
return false;
}
}
}
// 当所有各自都走完，自然返回true（注意只有当前合法，才会继续往下走，继续往下走的最终结果是越了sudoku的界限）
return true;
}
bool isValid(const vector<vector<char>> &board, int x, int y, int k) {
int i, j;
for (i = 0; i < 9; i++) // 检查 y 列
if (i != x && board[i][y] == '1' + k)
return false;
for (j = 0; j < 9; j++) // 检查 x 行
if (j != y && board[x][j] == '1' + k)
return false;
for (i = 3 * (x / 3); i < 3 * (x / 3 + 1); i++)
for (j = 3 * (y / 3); j < 3 * (y / 3 + 1); j++)
if ((i != x || j != y) && board[i][j] == '1' + k)
return false;
return true;
}
};
小结1
做搜索的题目，最关键的是要知道对什么对象进行dfs，例如，在sudoku中是对每一个以“.”标记的方格进行dfs，在回文划分中，是对每一个划分的位置进行dfs，在8妃问题中，是对每一行妃子可以在的位置进行dfs。
其次，dfs时，我们需要判断所取的每一个解是否是有效的，最好写一个函数来专门做这件事情。只要当当前对象dfs的数值有效时，才会继续往对下一个对象进行dfs，否则就直接向上回溯了（这点可以参见sudoku中的解释）。
最后，对于每次dfs时，可以对范围进行分支限界。例如回文划分、subset等。
小结2
值得注意的是：到底要对多少对象进行dfs，有时候是很明显的，例如8妃和sudoku问题，8妃就是对8行依次dfs，sudoku就是对所有方格进行dfs。但有时，总共要对多少对象进行dfs并不明显。dfs的递归基要处理的就是dfs完多少个对象就一定要返回（不然就无限dfs下去了）。当然，在sudoku问题中，方格的循环走完返回，这是一个隐含的递归基。
总结：dfs函数中，递归基处理的是dfs多少个对象就要返回。而每次dfs的for循环，往往是每一次dfs的范围。当递归栈最顶层的那个dfs循环走完，搜素就完成了。
小结3
在图论中，往往是从某一个点开始往下dfs，dfs的范围是当前node的所有neighbor，与我们通常的搜索问题不同的是，图论中的dfs在回溯时不会剪枝，总之，找到一条路径就结束了。
