数值分析1

第一章　　数值分析与科学计算引论

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 　　1、数值分析也称计算科学，是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。首先一个数值算法应该是计算机能直接处理的，然后它有可靠的理论分析，接着他要有好的计算复杂度，最后要有数值实验以作验证。

　　2、将连续问题离散化，使得输出数据是原函数在求解区间上的离散点的近似值，就是“数值问题”，求解数值问题的各种数值方法就是算法。总的来说，算法是求解某个现实问题时的若干步骤，通常是数值化的问题。判断数值算法的指标是计算复杂度，分为时间复杂度和空间复杂度。

　　3、误差来源

• • 模型误差
  • 截断误差　　
  • 舍入误差

　　截断误差与舍入误差的区别：前者来自求近似解过程，后者为机器字长有限所致。

　　4、绝对误差：e*=x*-x，其中x为准确值，x^*为x的近似值。相对误差：e_r*=e^*/x。有效数字：用科学计数法，记x^*=±0.a₁a₂…a_n×10^m，a₁≠0,如果存在尽可能大的n，使得|e(x^*)|≤0.5×10^m-n，则称x^*有n位有效数字。进而当n=p时，称x^*是有效数。

　　

　　5、一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的；否则称此算法为不稳定的。不使用不稳定算法的原因：尽管初值相当精确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不牢靠。

 　　6、计算函数值f(x)时，其相对误差比值：C_p≈|xf'(x)/f(x)|，也称为条件数。一般情况下，C_p≥10就认为这事病态问题。病态问题是数值问题自身固有的，与所用算法无关。但是设计算法时是可以避免误差危害的。

　　7、迭代法是一种按同一公式重复计算逐次逼近真值的算法。

　　

 　　8、直接利用以直代曲的原则构造方程的迭代法：

　　

 　　9、公元3世纪，刘徽使用“割圆术”和“加权平均的松弛技术”求圆周率，求得π≈3.1416。如果单纯用“割圆”算相当于割到3072边形。刘徽找到ω=36/105，使得S^*=S₁₉₂+36/105(S₁₉₂-S₉₆)，从而求得π≈S^*/r²。

　　10、在计算机上计算∑1/n（调和级数）的部分和时等于某个值，原因是受计算机字长的限制，当n趋于无穷时，1/n趋于0，计算机会取其为0。

　　11、（1）对数据的微小变化高度敏感是病态的√

　　　　（2）高精度运算可以改善问题的病态性×

　　　　（3）无论问题是否病态，只要算法稳定都能得到好的近似值×

　　　　（4）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值×

　　　　（5）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值√

　　　　（6）两个近似数相减必然会使有效数字损失√

　　　　（7）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的×

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