齐次坐标系

齐次坐标系是一种通过增加一个额外维度来扩展传统坐标表示方法的方式、它主要用于计算机图形学、机器人学及相关领域中的几何变换中，包括平移、旋转和缩放。为什么要用齐次坐标系的根本原因在于，它使得所有的几何变换可以用统一的矩阵乘法形式表示，极大简化了变换的计算和实现过程，同时也支撑了复杂变换的组合和连贯性处理。
详细来说，齐次坐标系通过将传统的(n)维坐标((x_1, x_2, …, x_n))扩展为(n+1)维的形式((x_1, x_2, …, x_n, w))，其中，(w)通常被设置为1。这种扩展不仅使得变换更为统一和方便，而且还允许我们表示无穷远点，从而为处理投影变换提供了方便。在齐次坐标系中，传统几何变换如平移、旋转和缩放可以通过简单的矩阵乘法完成，提高了计算的效率和准确度，这是在非齐次坐标系中难以实现的。
齐次坐标系是一种用于描述几何空间中点、向量和变换的数学工具。在齐次坐标系中，一个点P的坐标表示为(Px, Py, Pz, w)，其中Px、Py、Pz为点P在笛卡尔坐标系中的三维坐标，而w是一个辅助参数，通常取1。齐次坐标系一般用于计算机图形学和计算机视觉中，可以简化空间变换的表示和计算。
最后，齐次坐标系还能够方便地表示投影变换，使得三维空间中的点可以直接映射到二维图像平面上。

如何使用齐次坐标系进行变换？

使用齐次坐标系进行变换时，我们可以通过矩阵乘法来实现，这种方式非常高效。对于一个点P(x, y, z, 1)，如果我们希望对它进行平移、旋转和缩放等变换，可以构建一个4×4的变换矩阵M，并将点P与该矩阵相乘，得到变换后的齐次坐标(Px', Py', Pz', w')。其中，Px'、Py'、Pz'为变换后的点的坐标，w'是一个辅助参数。通过将w'除以Px'、Py'、Pz'，即可得到变换后点在笛卡尔坐标系中的实际坐标。因此，齐次坐标系能够方便地进行各种变换，为计算机图形学和计算机视觉提供了强大的数学工具。
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