我对递归的理解（适合新手）
一个函数调用其它函数好理解，但一个函数调用自身函数（这就是递归），代码看起来就不好懂了，容易把人绕进去出不来。不就是一个函数吗，为什么会让人看不懂呢？因为理解递归应该从整体（即整个函数体是否能解决问题）来看，而不是纠结于递归函数执行到了哪里！这是我研究了一遍又一遍最简单的递归代码得出得结论。我曾把二叉树的前序遍历（递归形式）的每一步代码都写出来，用python写的，因为python每次调用函数就缩进，能直观看出执行到哪了，结果发现递归确实能遍历，而且是按照可以从二叉树图形的每个结点顺序，其实也是，代码的执行不就是遍历了每个结点吗？要是代码没有按照设想的逻辑运行，那这个函数不就没实现功能，就是错的代码吗？
递归问题具体表现就是在函数中调用自身函数，每次调用问题的规模都变小了，直到遇到base case，一层层返回(可能是直接调用return，也可能函数体执行完返回的)问题就解决了，因此递归问题必须可以分解为若干个规模较小、与原问题形式相同的子问题，这些子问题可以用相同的解题思路来解决，这样才能从开始传一个参数，然后执行过程中不断调用自身函数直到最后得到问题的解。
拿斐波那契问题的代码来分析：
long long Fib(int n)
{
if(n <= 0)
return 0;
if(n == 1)
return 1;
return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
由斐波那契数列的递归代码可知，每个数都是f(n-1)+f(n-2)，其base case是当n=0是f(n)=0，当n=1时，f(n)=1。函数也确实就是这样实现的，那为什么新手阅读代码还会理解不了？当看到return Fib(n-1)+Fib(n-2)时，新手会去想Fib(n-1)和Fib(n-2)的计算过程，多重复这个过程几遍就把自己绕进去了，不知道计算到Fib()哪个。如下图所示，求n=10的斐波那契数列，n=10作为参数传进函数，递归后就需计算n=9和n=8；而n=9递归后计算n=8和n=7，n=8递归后计算n=7和n=6，n=9是n=8、7、6、5、4、3、2、1计算来的，n=8是n=7、6、5、4、3、2、1计算来的，是分别单独递归计算得到，用递归的树型结构可直观看出，数的每个结点都计算了，怎么计算来的，由更底下的结点推算而来到最底下的结点即叶子，不是f(0)就是f(1)。
根据斐波那契数列，我们可以提取出递归的3要素：
1)、明确递归终止条件；
递归就是有去有回，既然这样，那么必然应该有一个明确的临界点，程序一旦到达了这个临界点，就不用继续往下递去而是开始实实在在的归来。换句话说，该临界点就是一种简单情境，可以防止无限递归。
2)、给出递归终止时的处理办法；
在递归的临界点存在一种简单情境，在这种简单情境下，我们应该直接给出问题的解决方案。一般地，在这种情境下，问题的解决方案是直观的、容易的。
3)、提取重复的逻辑，缩小问题规模。
递归问题必须可以分解为若干个规模较小、与原问题形式相同的子问题，这些子问题可以用相同的解题思路来解决。从程序实现的角度而言，我们需要抽象出一个干净利落的重复的逻辑，以便使用相同的方式解决子问题。
再举一个例子：青蛙跳台阶问题。一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
只有1级台阶时，只有1种跳法，即跳上1级台阶；
有2级台阶时，有2种跳法，连续2次跳1级台阶，或者直接跳上2级台阶；
有3级台阶时，有3种跳法：第一种是直接连续跳3次1级台阶，第二种是先跳1级再跳2级，第三种是先跳2级，再跳1级；
有4级台阶时，有5种跳法；
有5级台阶时，有8种跳法；
…
3=2+1，5=3+2，8=5+3…
直觉好的人已经归纳出数学计算公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
另一个思考角度：把n级台阶的跳法看成n的函数，记为f(n)。我们从后往前看，首先考虑n级台阶，只能由第n-1级台阶跳1级上来，或是由第n-2级台阶跳2级； n-1级台阶时，只能由第n-2级跳1级上来，或由n-3级跳2级；
n-2级台阶时，只能由第n-3级跳1级上来，或由n-4级跳2级；
…
2级台阶时，只能由第1级跳1级上来，或由0级跳2级；
1级台阶时，只能由第0级跳1级上来；
就可以归纳得出：
这不就是斐波那契数列问题吗？
至于为什么可以把n级台阶的跳法看成f(n)，第n级的跳法是由n-1级的跳法加上n-2级的跳法，一次类推。因为一种从0级跳到终点的路径就是一种跳法，如果画出树形结构，就能看到一条条从叶结点到根的路径，每一条路径都是一种跳法，即有多少叶结点就有多少种跳法，这就是为什么跳法可以用f(n)表示的原因。
