机器学习算法总结(二)——决策树(ID3, C4.5, CART)

  决策树是既可以作为分类算法,又可以作为回归算法,而且在经常被用作为集成算法中的基学习器。决策树是一种很古老的算法,也是很好理解的一种算法,构建决策树的过程本质上是一个递归的过程,采用if-then的规则进行递归(可以理解为嵌套的 if - else 的条件判断过程),关于递归的终止条件有三种情形:

  1)当前节点包含的样本属于同一类,则无需划分,该节点作为叶子节点,该节点输出的类别为样本的类别

  2)该节点包含的样本集合为空,不能划分

  3)当前属性集为空,则无法划分,该节点作为叶子节点,该节点的输出类别为样本中数量多数的类别

  事实上,我们在递归的过程中不会等达到上面的条件才终止递归,往往会提前终止来减小过拟合(提前终止也是一种较好的减小过拟合的方式,不只是在决策树算法中,在很多场景下都有应用)。

  决策树主要的有点是模型具有很好的可读性,模型可以可视化,分类速度快(log(n) 的时间复杂度),本文介绍三种最常见的决策树算法 — ID3,C4.5,CART,并介绍三种算法的优缺点。

1、信息论基础

  首先我们需要熟悉信息论中熵的概念,熵度量了事物的不确定性,熵越大,表示事物的不确定性越高,混乱程度越高。则随机变量X的熵定义为:

  

  条件熵H(Y|X)表示在已经知道随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性,随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵H(Y|X),定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望:

  

2、ID3算法

  前面说过决策树本质上是 if-else 的嵌套,然而如何决定每一层的if 条件呢?在ID3算法中用的是信息增益作为选择特征的指标,信息增益的定义是在特征A给定的条件下,集合D的信息熵H(D) 和在 特征A条件下的条件熵H(D|A) 的差值,描述了选取特征A对数据集进行划分对信息熵的减小程度,信息增益的表达式:

  

  具体的信息增益计算过程如下:

  1)计算数据集D的信息熵H(D):

  

  2)计算特征A对数据集D的条件熵H(D|A):

  

  3)计算信息增益g(D, A)

  

  因此ID3算法的流程就很简单了,每次都采用信息增益来选取最优划分特征来划分数据集,直到遇到了递归终止条件,具体算法流程如下:

  定义输入值:训练数据集D,特征集A(可以从训练集中提取出来),阀值ε(用来实现提前终止);

  1)若当前节点中所有实例属于同一类Ck,则该结点作为叶子节点,并将类别Ck作为该结点的输出类;

  2)若A为空,则将当前结点作为叶子节点,并将数据集中数量最多的类作为该结点输出类;

  3)否则,计算所有特征的信息增益,若此时最大的信息增益小于阀值ε,则将当前结点作为叶子节点,并将数据集中数量最多的类作为该结点输出类;

  4)若当前的最大信息增益大于阀值ε,则将最大信息增益对应的特征A作为最优划分特征对数据集进行划分,根据特征A的取值将数据集划分为若干个子集;

  5)对第i个结点,以Di为训练集,以Ai为特征集(将之前用过的特征从特征集中去除),递归的调用前面的1- 4 步。

   ID3算法简单,但是其缺点也不少:

  1)ID3算法采用信息增益来选择最优划分特征,然而人们发现,信息增益倾向与取值较多的特征,对于这种具有明显倾向性的属性,往往容易导致结果误差;

  2)ID3算法没有考虑连续值,对与连续值的特征无法进行划分;

  3)ID3算法无法处理有缺失值的数据;

  4)ID3算法没有考虑过拟合的问题,而在决策树中,过拟合是很容易发生的;

  5)ID3算法采用贪心算法,每次划分都是考虑局部最优化,而局部最优化并不是全局最优化,当然这一缺点也是决策树的缺点,获得最优决策树本身就是一个NP难题,所以只能采用局部最优;

3、C4.5算法

  C4.5算法的提出旨在解决ID3算法的缺点 ,因此讲解C4.5算法我们从ID3算法的缺点出发:

  1)采用信息增益比来替代信息增益作为寻找最优划分特征,信息增益比的定义是信息增益和特征熵的比值,对于特征熵,特征的取值越多,特征熵就倾向于越大;

    信息增益比的表达式如下:

    

    其中  ,n是特征A取值的个数。

  2)对于连续值的问题,将连续值离散化,在这里只作二类划分,即将连续值划分到两个区间,划分点取两个临近值的均值,因此对于m个连续值总共有m-1各划分点,对于每个划分点,依次算它们的信息增益,选取信息增益最大的点作为离散划分点;

  3)对于缺失值的问题,我们需要解决两个问题,第一是在有缺失值的情况下如何选择划分的属性,也就是如何得到一个合适的信息增益比;第二是选定了划分属性,对于在该属性的缺失特征的样本该如何处理。

    对于第一个问题,对于某一个有缺失特征值的特征A。C4.5的思路是将数据分成两部分,对每个样本设置一个权重(初始可以都为1),然后划分数据,一部分是有特征值A的数据D1,另一部分是没有特征A的数据D2. 然后对于没有缺失特征A的数据集D1来和对应的A特征的各个特征值一起计算加权重后的信息增益比,最后乘上一个系数,这个系数是无特征A缺失的样本加权后所占加权总样本的比例。

    对于第二个子问题,可以将缺失特征的样本同时划分入所有的子节点,不过将该样本的权重按各个子节点样本的数量比例来分配。比如缺失特征A的样本a之前权重为1,特征A有3个特征值A1,A2,A3。 3个特征值对应的无缺失A特征的样本个数为2,3,4。则a同时划分入A1,A2,A3。对应权重调节为2/9,3/9,4/9;

  4)对于过拟合的问题,采用了后剪枝算法和交叉验证对决策树进行剪枝处理,这个在CART算法中一起介绍。

  虽说C4.5解决了ID3算法中的几个缺点,但其仍有很多不足之处:

  1)C4.5的剪枝算法不够优秀;

  2)C4.5和ID3一样,都是生成的多叉树,然而在计算机中二叉树模型会比多叉树的运算效率高,采用二叉树也许效果会更好;

  3)在计算信息熵时会涉及到大量的对数运算,如果是连续值还需要进行排序,寻找最优离散划分点,这些都会增大模型的运算;

  4)C4.5算法只能处理分类问题,不能处理回归问题,限制了其应用范围。

4、CART算法

  CART树是在C4.5算法的基础上对其缺点进行改进的算法,采用二叉树作为树模型的基础结构,采用基尼指数(分类问题)和和方差(回归问题)属性来选取最优划分特征。CART算法由以下两部组成:

  1)决策树生成:基于训练集极大可能的生成决策树(事实上,在生成树的过程中可以加入一些阀值,对决策树做一些预剪枝处理,配合之后的后剪枝效果会更好);

  2)决策树剪枝:用验证数据集对已生成的树进行剪枝并选择最优子树,这时用损失函数最小作为剪枝的标准(寻找全局最优子树);

  CART分类树

  先引入基尼指数,基尼指数也可以表述数据集D的不确定性,基尼指数越大,样本集合的不确定性就越大,对于给定的样本集,假设有k个类别,第k个类别的概率为Pk,则基尼指数的表达式为:

  

  对于给定的样本集合D,其基尼指数可以表述为:

  

  在给定特征A的情况下,若集合被特征A的取值给分成D1和D2 ,则在特征A的条件下的基尼指数可以表述为:

  

  因此在进行最优划分特征选择时,我们选择在该特征下基尼指数最小的特征,而且在二分类的问题中基尼指数和熵的差异不大,基尼指数和熵之半的曲线如下

  

  引入基尼指数解决了计算熵时大量的对数运算的问题,然而CART树是二叉树,那么我们在选取了特征之后,又该如何划分数据集呢?

  1)对于连续值

    在C4.5中我们对于连续值的处理就是将其划分为两类,那么在CART中更是如此,划分方式和C4.5算法一模一样,唯一的区别是度量方式不同,在CART中采用基尼指数作为度量属性,选择使得在该特征下基尼指数最小的划分点来将连续值划分为两类;

  2)对于离散值

    对与离散值的处理和ID3或者C4.5都有很大的不同,对于某个特征A,其取值可能不只两个,对于取值大于2的,我们需要随意组合将其分为两类,选择基尼指数最小的那一类作为当前的划分(因为对与特征A,并没有将其按照取值完全分开,因此此时特征A不会从特征集中去除,会留到之后可能再被选择,这也是和ID3、C4.5不同的地方)。

  对于CART分类树的算法流程和C4.5差不多,只要注意每次都是进行二类划分,即使该特征的取值有多个。

  CART回归树

  CART回归树是CART算法中新引进的用来处理回归问题,其算法流程和CART分类树差不多,但在细节上有写不同,主要是以下两个方面:

  1)对连续值的处理方式不一样,采用的特征选择属性不一样,在这里采用的是常用的和方差来进行特征选择,其表达式如下:

  

  对于任意特征A,对应的任意划分点将数据集划分成D1和D2两个部分,寻找到使得D1和D2各自集合的均方误差最小,并且D1和D2的均方误差之和也最小的划分点,该划分点就是该特征最佳的划分点,因此利用和方差选取最优特征时,就是选取使得和方差最小的特征和划分点。

  2)决策树的预测方式不一样,在分类算法中都是采用叶子结点中数量最多的类别作为输出值,而对于回归问题,一般采用叶子结点中的样本集的均值或者中位数作为输出值,有的还会基于叶子结点中的集合建立线性回归模型来作为输出值。

  CART算法虽然在C4.5算法的基础上进行了很大的改进,但是仍然存在一些缺点:

  1)每次用最优特征进行划分,这种贪心算法很容易陷入局部最优,事实上分类决策不应该由某一特征决定,而是一组特征决定的,比如多变量决策树(事实上我觉得还不如用集成算法);

  2)样本敏感性,样本的一点改动足以影响整个树的结构,也可以通过集成算法解决;

  感觉单独的决策树算法用的不多,决策树大多是作为集成算法的基学习器来用的。

5、CART算法的剪枝

  无论是对于分类树还是回归树,都可以用同样的方式进行剪枝,决策树是非常容易过拟合的,因此对决策树进行剪枝是很有必要的(剪枝说白了就是减小模型的复杂度),具体的剪枝算法如下:

  首先我们看看剪枝的损失函数度量,在剪枝的过程中,对于任意的一刻子树T,其损失函数为:

  

  其中,α为正则化参数,这和线性回归的正则化一样。C(T)为训练数据的预测误差,分类树是用基尼系数度量,回归树是均方差度量。|T|是子树T的叶子节点的数量。当α=0时,即没有正则化,原始的生成的CART树即为最优子树。当α∞ 时,即正则化强度达到最大,此时由原始的生成的CART树的根节点组成的单节点树为最优子树。当然,这是两种极端情况。一般来说,α越大,则剪枝剪的越厉害,生成的最优子树相比原生决策树就越偏小。对于固定的α,一定存在使损失函数Cα(T)最小的唯一子树。

  具体的从整体树开始剪枝,对与任意内部结点,以t为单结点数的损失函数是:

  

  以t为根节点的子树Tt的损失函数是:

  

  当α=0或者α很小时,Cα(TtCα(T)

  当α增大到一定的程度时 Cα(TtCα(T);

  当α继续增大时不等式反向,也就是说,如果满足:α=(C(T− C(Tt)) / (|Tt− 1),TtT有相同的损失函数,但是T节点更少,因此可以对子树Tt进行剪枝,也就是将它的子节点全部剪掉,变为一个叶子节点T

   最后我们看看CART树的交叉验证策略。上面我们讲到,可以计算出每个子树是否剪枝的阈值α,如果我们把所有的节点是否剪枝的值α都计算出来,然后分别针对不同的α所对应的剪枝后的最优子树做交叉验证。这样就可以选择一个最好的α,有了这个α,我们就可以用对应的最优子树作为最终结果。

  现在我们现在来看看CART树的剪枝算法:

  输入是CART树建立算法得到的原始决策树T;

  输出是最优决策子树Tα;

  具体算法过程如下:

  1)初始化αmi, 最优子树集合ω {T};

  2)从叶子节点开始自下而上计算各内部节点t的训练误差损失函数Cα(Tt)(回归树为均方差,分类树为基尼系数), 叶子节点数|Tt|,以及正则化阈值α=min{(C(T− C(Tt)) / (|Tt− 1)αmin}, 更新αmiα;

   3) 得到所有节点的α值的集合M;

  4)从M中选择最大的值αk,自上而下的访问子树t的内部节点,如果(C(T− C(Tt)) / (|Tt− 1) ≤ αk时,进行剪枝。并决定叶节点t的值。如果是分类树,则是概率最高的类别,如果是回归树,则是所有样本输出的均值。这样得到αk对应的最优子树Tk

  5)最优子树集合ω ω ∪ Tk− {αk};

  6) 如果M不为空,则回到步骤4。否则就已经得到了所有的可选最优子树集合ω;

  7) 采用交叉验证在ω选择最优子树Tα   

6、决策树的优缺点

  决策树的优点:

  1)决策树简单直观,相比于如神经网络之类的黑盒模型,决策树容易理解,还可以进行可视化;

  2)基本上不需要做预处理,不需要做归一化,不需要处理缺失值;

  3)使用决策树进行预测的时间复杂度只有O(log2m),m为样本数;

  4)即可以处理离散值,也可以处理连续值,无论数对于分类问题还是回归问题;

  5)可以很容易的处理多分类的问题;

  6)可以用交叉验证来对决策数进行剪枝,避免过拟合(对于很复杂的决策树,最好配合预剪枝一起处理);

  7)对于异常点的容错性好,健壮性高;

  决策树的缺点:

  1)决策树很容易过拟合,很多时候即使进行后剪枝也无法避免过拟合的问题,因此可以通过设置树深或者叶节点中的样本个数来进行预剪枝控制;

  2)决策树属于样本敏感型,即使样本发生一点点改动,也会导致整个树结构的变化,可以通过集成算法来解决;

  3)寻找最优决策树是各NP难题,一般是通过启发式方法,这样容易陷入局部最优,可以通过集成算法来解决;  

  4)决策树无法表达如异或这类的复杂问题;

  

 

posted @ 2018-06-26 22:29  微笑sun  阅读(6228)  评论(0编辑  收藏  举报