台球游戏的核心算法和AI(1)
前言:
08年的时候, 写过一个台球游戏, 用的是java, 不过代码真的是用传说中的神器notepad写的(你信吗? 其实是用GVIM写的, ^_^), 很多类都在同一java文件中编写. 可见当时的JAVA水平真的不咋地, 时过进迁, 还是一样的不咋地.
这边是当时的CSDN下载链接: java(台球游戏), 实现比较简单. 后来写过一个版本, 比这个要强大许多, 可惜源码丢失了.
效果展示入下图所示:
本文想讲述下台球游戏中核心算法的实现, 以及游戏AI的设计技巧. 当然自己也有个小愿望, 希望能实现一个html5版的台球游戏.
基础物理知识:
• 摩擦阻力
其满足牛顿第二定律:
f = m * a
速度与加速度关系公式:
vt = v0 + a * t
地面摩擦力与运动物体的方向相反, 阻碍物体的向前运动.
• 动量守恒
假设物体A质量为m1, 速度为v1, 物体B质量为m2, 速度为v2, 碰撞后速度分别为v1', v2'.
则满足动量守恒定律:
m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v1' + m2 * v2'
• 碰撞类型和能量守恒定律
1). 完全弹性碰撞
动能没有损失, 则满足如下公式:
1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * v1'^2 + 1/2 * m2 * v2'^2
注: 前后物体的动能保持均衡, 没有其他能量的转化.
结合之前的动量守恒定律, 我们可以进一步得到:
v1' = [(m1-m2) * v1 + 2 * m2 * v2] / (m1 + m2)
v2' = [(m2-m1) * v2 + 2 * m1 * v1] / (m1 + m2)
2). 完全非弹性碰撞
则存在其他能量的转化, 动能不守恒.
且此时两物体粘连, 速度一致, 即v1'=v2', 此时动能损失最大.
3). 弹性碰撞
介于完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞两者之间. 动能有损失的.
物理模型:
台球游戏中, 最核心的就是其物理模型的抽象及其碰撞算法的执行过程了.
鉴于是2D版的台球游戏, 因此我们对物理模型做下简化, 球运动的方向必然穿越球的中心.
把每个台球抽象为圆(x, y, radius), 而台球桌边框抽象为线段((x1, y1), (x2, y2)).
• 碰撞检测
1). 检测球与球碰撞
我们假定球A(x1, y1, r), 球B(x2, y2, r). 则满足条件:
(x1 - x2) ^ 2 + (y1 - y2) ^ 2 <= (2*r) ^ 2
则发生碰撞, 否则没有发生碰撞
2). 检测球与球台边框碰撞
相对比较简单. 求球心到边框的垂直距离即可, 若小于等于则发生碰撞, 若大于则没有.
• 碰撞反应
1). 球与球的碰撞反应
动量是向量, 其在正交的两个方向上, 互相守恒. 我们选取两球圆心的直线为x轴, 垂直于圆心直线的为y轴. 如上图所述.
x轴上满足动量守恒:
m1 * Vx + m2 * Ux = m1 * Vx' + m2 * Ux';
并假定两球碰撞是完全弹性碰撞, 两球质量相等m1=m2, 依据基础物理知识篇的结论.
Vx' = [(m1-m2) * Vx + 2 * m2 * Ux] / (m1 + m2) = Ux;
Ux' = [(m2-m1) * Ux + 2 * m1 * Vx] / (m1 + m2) = Vx;
在X轴方向, 两球交换速度, 而在Y轴方向, 两球分速度不变.
Vy' = Vy;
Uy' = Uy;
最终碰撞后的速度公式为:
V' = Vx' + Vy' = Ux + Vy;
U' = Ux' + Uy' = Vx + Uy;
2). 球与边框的碰撞反应
把台球边框视为质量无穷大, 则简单把运动的球, 其在垂直边框的分方向反向即可.
假定碰撞碰撞平面为x轴
Vx' = Vx;
Vy' = -Vy;
最终速度公式为:
V' = Vx' + Vy' = Vx - Vy;
碰撞执行算法:
游戏的主循环往往遵循如下代码结构:
while ( true ) { game.update(time_interval); game.render(); }
这个时间间隔(time_interval), 由游戏的FPS来确定. 以24帧为例, 每40毫秒刷新一次.
对于台球本身而言, 若以该time_interval为更新周期, 使得运动的球体满足:
Vt = V0 + a * t
运行距离为:
S = V0 * t + 1/2 * a * t^2.
然后来检测球体是否发生了碰撞, 然后进行碰撞反应处理. 看似没有问题.
但是当球体初速度很快时, 在time_interval中有可能, 发生穿越现象.
如下图所展示的现象:
紫色球在t2时刻, 和蓝球检测到碰撞, 但实际上, 在紫球在t1~t2之间的某时刻和蓝球发生了碰撞.
为了解决该问题, 在具体的算法中, 需要引入更细的时间分片slice, 该过程在具体的update中进行模拟.
整个台球场景的更新函数:
void update(time_interval) { while time_interval > 0: // 碰撞检测 if detectionCollide(time_interval, least_time, ball_pairs): // 游戏更新least_time billiards.update(least_time) // 对碰撞的两球进行碰撞反应 collideReaction(ball_pairs=>(ball, other)) // time_interval 减少 least_time time_interval -= least_time else： // 游戏更新least_time billiards.update(time_interval) time_interval = 0 }
注: 碰撞反应, 按物理模型篇讲述的来.
而具体的碰撞检测算法为:
/* @brief 在time_interval 时间内, 返回最先碰撞的球或台球边, 以及时间点 */ bool detectionCollide(time_interval, least_time, ball_pairs) { res = false; least_time = time_interval; foreach ball in billiards: foreach otherBall in billiards: // 求出两球的距离 S = distance(ball, otherBall) // 以某一球作为参考坐标系, 则令一球速度向量变为 U’=U-V // 在圆心的直线作为x轴 Ux(relative) = Ux(other ball) - Vx(ball) // 若该方向使得两球远离, 则直接忽略 if Ux(relative) < 0： continue // 某该方向使得两球接近, 则可求其碰撞的预期时间点 A' = 2 * A; // 加速度为原来的两倍 // 取两者最小的时间点 delta_time = min(time_interval, Ux(relative) / Ax’) // 预期距离 小于 两球距离，则在time_interval中不会发生碰撞 if 1/2 * Ax’ * delta_time ^ 2 + Ux(relative) * delta_time < S - 2*r: continue // 解一元二次方程, 使用二分搜索逼近求解 res_time <= slove(1/2 * Ax’ * x ^ 2 + Ux(relative) * x = S - 2 * r) if res_time < least_time: ball_pairs <= (ball, otherBall) least_time = res_time res = true foreach wall in billiards: S = distance(ball, wall) // 设垂直于平面的方向为x轴 if Vx < 0: continue // 取两者最小的时间点 delta_time = min(time_interval, Vx / Ax) // 预期距离 小于 两球距离，则在time_interval中不会发生碰撞 if 1/2 * Ax * delta_time ^ 2 + Vx * delta_time < S - r: continue // 解一元二次方程, 使用二分搜索逼近求解 res_time <= slove(1/2 * A * x ^ 2 + Vx * x = S - r) if res_time < least_time: ball_pairs <= (ball, walll) least_time = res_time res = true return res }
注: 对于一元二次方程, 也可以借助分1000个细粒度时间片, 然后计算逼近求解.
台球模拟碰撞算法过程, 大致就是如上所述.
计算最复杂的时刻, 其实就是开球, 打散一堆球的时候.
总结:
本文参考了"NEHE的OPENGL中文教程 第30课 碰撞检测与模型运动". 当然实现台球游戏, 未必真的需要该算法, 很多开发者直接使用box2d就能完美并轻松的实现. 参考"使用 cocos2d-x Box2d 的实现". 后续的文章, 想讲述下台球游戏的AI如何设计和实现. 望一同努力.
