高次同余方程式的解数及解法
定理一:
若是k个两两互质的正整数,
,则同余式
(1)
与同余式组
(i=1,2,3,...,k) (2)
等价,并且若用表示
对模
的解数,T表示(1)式对模m的解数,
则:
所以求多项式的解可以用上述方法,先分解分别求出各个解再合并。
定理二:p是素数,r>=2是整数,是整系数多项式,设
是同余方程
的一个解,以
表示
的导数。
(1)若,则存在整数t,使
是同于方程
的解。
(2)若,并且
,则对于t=0,1,2,3,...,p-1,
中的
x都是方程的解。
2013年全国邀请赛长沙赛区的E题就是利用上述的定理。
题目大意 :
给定函数 , pri为质数,求一个x使得,
, 如果没有,输出No Solution.
首先求得所有的i,使得
然后分别验证所有的 , 是否满足
由于在第一次枚举的时候保留下来的i不会很多,第二次暴力枚举的时候复杂度不会很大。
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N=105; LL a[N]; LL temp[N]; LL Equ(LL n,LL x) { if(n==1) return a[1]*x+a[0]; else if(n==2) return a[2]*x*x+a[1]*x+a[0]; else if(n==3) return a[3]*x*x*x+a[2]*x*x+a[1]*x+a[0]; else if(n==4) return a[4]*x*x*x*x+a[3]*x*x*x+a[2]*x*x+a[1]*x+a[0]; } int main() { LL T,n,i,j,p,k,tt=1; cin>>T; while(T--) { cin>>n; for(i=n;i>=0;i--) cin>>a[i]; cin>>p; k=0; for(i=0;i<p;i++) { if(Equ(n,i)%p==0) { temp[k++]=i; } } if(k==0) { printf("Case #%I64d: No solution!\n",tt++); continue; } LL ret=-1; for(i=0;i<k;i++) { bool flag=0; for(j=0;j<p;j++) { LL x=(temp[i]+j*p); if(Equ(n,x)%(p*p)==0) { ret=x; flag=1; break; } } if(flag) break; } if(ret==-1) { printf("Case #%I64d: No solution!\n",tt++); continue; } printf("Case #%I64d: %I64d\n",tt++,ret); } return 0; }