算法结点图的多源点最短路问题和传递闭包之Floyd-Warshall算法 By ACReaper

最近一直在研究算法结点之类的问题,上午正好有机会和大家共享一下.

    我们道知求图的最短路有Dijkstra应用于无负权的算法，也有应用于有负权的Bellman0-Ford算法，但是当源点有多个呢？难道我们要用调n次的Dijkstra算法？有没有其它的算法呢？这是当然的，Floyd-Warshall就是用来处理这个问题的，或许有学过的人会说这个算法的率效太低，为O(n^3)但是，当摊销到每一条路上时，其率效为O(V)还是很高的，很适用的一个算法。

    

    Floyd-Warshall算法是基于最短路的子路也一定是最短路这一最优子结构，加上动态规划思想来实现的，对于图中，我们假设dij(k)示表从结点Vi到结点Vj的最短路，k为其上标，示表在dij这条最短路的中间结点是属于{1,2,3....k}这个合集的，所以我们假设有结点P，合集S为{1,....k},合集Q为S-{p}，那么对于dij(k)这条最短路，结点k要么在其上，要么不在，所以我们有

    Dij(k) = min(Dij(k-1),Dik(k-1) + Dkj(k - 1))。

    接着我们用递推来少减重复的算运，算法如下:

    

    每日一道理
这浓浓的母爱使我深深地认识到：即使你是一只矫健的雄鹰，也永远飞不出母爱的长空；即使你是一条扬帆行驶的快船，也永远驶不出母爱的长河！在人生的路上不管我们已走过多远，还要走多远，我们都要经过母亲精心营造的那座桥！

#include <stdio.h>
//和算法导论中Floyd-Warshall算法，在图的存储中采取邻接矩阵不同，我们采取邻接链表来
//存图，并且实现该算法

#define MAXN 1000 
#define INF 1 << 30
int first[MAXN + 1];
int next[MAXN + 1];
int d[MAXN + 1][MAXN + 1];
int c[MAXN + 1][MAXN + 1];
int u[MAXN + 1];
int v[MAXN + 1];
int w[MAXN + 1];
int n,m;
int main(){
	
	while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){
		for(int i = 1; i <= n; i++){//Init,0代表NULL 
			first[i] = 0;
		}
		for(int i = 1; i <= m; i++){
			next[i] = 0;
		}
		
		for(int e = 1; e <= m; e++){//构建邻接链表 
			scanf("%d%d%d",u + e, v + e, w + e);
			next[e] = first[u[e]];
			first[u[e]] = e; 
		}
		
		//动态规划初始化 
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			for(int j = 1; j <= n; j++){
				d[i][j] = INF;
				c[i][j] = i == j?1 : 0;
			}
			d[i][i] = 0;
			for(int e = first[i]; e != 0; e = next[e]){
				d[i][v[e]] = w[e];
				c[i][v[e]] = 1;
			}
		} 
		//从最底层开始递推 
		for(int k = 1; k <= n; k++){
			for(int i = 1; i <= n; i++){
				for(int j = 1; j <=n ; j++){
					if(d[i][k] != INF && d[k][j] != INF)
						d[i][j] <?= d[i][k] + d[k][j];
					
					c[i][j] = c[i][j] || c[i][k] && c[k][j];
				}
			}
		} 
		
		for(int i = 1; i <=n ; i++){
			for(int j = 1; j <= n; j++){
				printf("V(%d)到V(%d)的最短路存在:%d,值为:%d\n",i,j,c[i][j],d[i][j]);
			}
		}
		
	}	
	
	return 0;
}

    2013 04 30

    By ACReaper

文章结束给大家分享下程序员的一些笑话语录： AdobeFlash拖垮Windows拖垮IE！又拖垮Linux拖垮Ubuntu拖垮FirxEox！还拖垮BSD拖垮MacOS拖垮Safri！简直无所不拖！AdobeFlash滚出网路世界！不要以为市占有率高就可以持续出烂货产品！以后替代品多得是！