Luogu P9510 『STA - R3』高维立方体 题解

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没见过这玩意，写个题解记下。

题目大意

周知斐波那契数列定义为：

$$\operatorname{fib}(n)=\left\{ \begin{aligned} 1 & & n\le 2 \\ \operatorname{fib}(n-1)+\operatorname{fib}(n-2) & & n>2 \end{aligned} \right.$$

然后定义（$n\le 0$ 函数值为 $0$）

$$f(n)=\sum_{i=1}^n \operatorname{fib}(i)$$

你需要求出：

$$\sum_{i=1}^{n}\operatorname{fib}(i)(f(i-2)+\operatorname{fib}^2(i)+\operatorname{fib}(i))$$

数据范围 $n\le 10^{18}$，数据组数 $T\le 2\times 10^5$，模数 $2\le p \le 10^9+7$

题目解析

第一次见这种题目，记录一下。

从这张图我们可以得到

$$f(n)=\sum_{i=1}^n \left(\operatorname{fib}(i)\right)^2=\operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)$$

然后就是化式子

$$\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n}\operatorname{fib}(i)(f(i-2)+\operatorname{fib}^2(i)+\operatorname{fib}(i)) \\ &\text{展开} f(x) \\ = & \sum_{i=1}^{n}\operatorname{fib}(i)(\operatorname{fib}(i-2)\operatorname{fib}(i-1)+\operatorname{fib}^2(i)+\operatorname{fib}(i))\\ &\text{乘开，提出}\sum \operatorname{fib}^2(i) \\ = & \sum_{i=1}^{n}(\operatorname{fib}(i)\operatorname{fib}(i-1)\operatorname{fib}(i-2)+\operatorname{fib}^3(i))+ \sum_{i=1}^n\operatorname{fib}^2(i))\\ &\text{左边带入} \operatorname{fib}(i-2)=\operatorname{fib}(i)-\operatorname{fib}(i-1)\text{，右边带入上述公式}\\ = & \sum_{i=1}^{n}(\operatorname{fib}(i)\operatorname{fib}(i-1)(\operatorname{fib}(i)-\operatorname{fib}(i-1))+\operatorname{fib}^3(i))+ \operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\ & \text{乘开} \\ = & \sum_{i=1}^{n}(\operatorname{fib}^2(i)\operatorname{fib}(i-1)-\operatorname{fib}(i)\operatorname{fib}^2(i-1)+\operatorname{fib}^3(i))+ \operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\ & \text{提取公因式} \operatorname{fib}^2(i) \\ = & \sum_{i=1}^{n}(\operatorname{fib}^2(i)(\operatorname{fib}(i-1)+\operatorname{fib}(i))-\operatorname{fib}(i)\operatorname{fib}^2(i-1))+ \operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\ & \text{合并} \operatorname{fib}(i-1)+\operatorname{fib}(i)=\operatorname{fib}(i+1) \\ = & \sum_{i=1}^{n}(\operatorname{fib}^2(i)\operatorname{fib}(i+1)-\operatorname{fib}^2(i-1)\operatorname{fib}(i))+ \operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\ & \text{裂项相消} \\ = & \operatorname{fib}^2(n)\operatorname{fib}(n+1)-\operatorname{fib}^2(0)\operatorname{fib}(1)+ \operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\\\ & \text{通过} \operatorname{fib}(n)=\operatorname{fib}(n-1)+\operatorname{fib}(n-2) \text{逆推得到} \operatorname{fib}(0)=0 \text{并带入}\\ = & \operatorname{fib}^2(n)\operatorname{fib}(n+1)+ \operatorname{fib}(n)\operatorname{fib}(n+1)\\ \end{aligned}$$

矩阵乘法一次就可以同时算出 $\operatorname{fib}(n)$ 和 $\operatorname{fib}(n+1)$。
时间复杂度 $O(T\log n)$。

ll n,p;
struct Mat{
	ll a11,a12,a21,a22;
	Mat operator * (const Mat y) const {
		return (Mat){(this->a11*y.a11+this->a12*y.a21)%p,
			(this->a11*y.a12+this->a12*y.a22)%p,
			(this->a21*y.a11+this->a22*y.a21)%p,
			(this->a21*y.a12+this->a22*y.a22)%p};
	}
}st,base;
Mat pow(Mat x,ll y){
	Mat res,tmp=x; res.a11=res.a22=1; res.a12=res.a21=0;
	while(y){ if(y&1) res=res*tmp; tmp=tmp*tmp; y>>=1; } return res;
}
void work(){
	fin>>n>>p; if(n==1){ fin<<2%p<<'\n'; return; }
	st.a11=1; st.a12=1; base.a12=1; base.a21=1; base.a22=1;
	st=(st*pow(base,n-1));
	fin<<(st.a11+1)*st.a11%p*st.a12%p<<'\n';
}
int main(){
	int T; fin>>T; while(T--) work(); return 0;
}