CF1817C Similar Polynomials 题解

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Div.1 C 拉格朗日差值，赛时开香槟。

UPD：有个地方打错了，已经更正。

题目大意

给定 $d$ 次两个多项式 $A(x),B(x)$。求 $s$，使得 $B(x)\equiv A(x+s) \pmod {10^9+7}$ ，保证 $s$ 存在。
给出多项式的形式为给出 $x=0,1,\cdots,d$ 模 $10^9+7$ 的值。
$d\le 2.5 \times 10^7$。

题目解析

考虑 $A(x)\equiv B(x-s) \pmod {10^9+7}$，展开 $B(x-s)$。
发现 $A(x)$ 和 $B(x)$ 最高位系数相同（记位 $k$），并且只要知道第二高位 $k_1,k_2$，那么就有
$k_1\equiv k_2-2 s k_1\pmod {10^9+7}$。
所以关键在于求这三个数字。

考虑拉格朗日插值（考虑 $x_i=i$，这里直接带入）

$$f(x)=\sum_{i=0}^{d}y_i\prod_{j=1,j\not=i}^{n}\dfrac{x-j}{i-j}$$

最高项系数为

$$\sum\limits_{i=0}^d\dfrac{y_i}{(-1)^{d-i} i! (d-i)!}$$

第二高项系数为

$$-\sum\limits_{i=0}^d \dfrac{y_i }{ (-1)^{d-i} i! (d-i)!} \dfrac{d(d+1)}{2}$$

预处理 $i!$ 逆元即可，$\Theta(n)$。

int n; ll a[maxn],b[maxn],fact[maxn],inv[maxn],k,k1,k2;
ll fpow(ll x,ll y){
	ll tmp=x,res=1;
	while(y){
		if(y&1) res=res*tmp%MOD;
		y>>=1; tmp=tmp*tmp%MOD;
	} return res;
}
ll getk(int d,ll *p){
	ll ans=0; int i;
	for(i=0;i<=d;i++){
		ll t=p[i]*inv[i]%MOD*inv[d-i]%MOD; if((d-i)&1) t=MOD-t;
		ans=(ans+t)%MOD;
	} return ans;	
}
ll getk2(int d,ll *p){
	ll ans=0; int i;
	for(i=0;i<=d;i++){
		ll t=(1ll*d*(d+1)/2-i)%MOD*p[i]%MOD*inv[i]%MOD*inv[d-i]%MOD; if((d-i)&1) t=MOD-t;
		ans=(ans+t)%MOD;
	} return MOD-ans;
}
int main(){
#ifdef LOCAL
	freopen("1.in","r",stdin);
#endif
	n=read(); int i; for(i=0;i<=n;i++) a[i]=read(); for(i=0;i<=n;i++) b[i]=read();
	fact[0]=1; for(i=1;i<=n;i++) fact[i]=fact[i-1]*i%MOD;
	inv[n]=fpow(fact[n],MOD-2); for(i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%MOD;
	k=getk(n,a); k1=getk2(n,a); k2=getk2(n,b);
	print((k2-k1+MOD)%MOD*fpow(k*n%MOD,MOD-2)%MOD);
	return 0;
}