[ABC294F] Sugar Water 2 题解

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题目大意

高桥君有 $N$ 瓶糖水，第 $i$ 瓶有 $A_i$ 克糖和 $B_i$ 克水。青木君有 $M$ 瓶糖水，第 $i$ 瓶有 $C_i$ 克糖和 $D_i$ 克水。然后两人各拿出一瓶混在一起，求可能产生的第 $K$ 大的浓度百分比是多少，误差在 $10^{-9}$ 内均为正确。
定义一瓶 $x$ 克糖 $y$ 克水的糖水浓度为 $\dfrac{100x}{x+y}\%$。
$1\le N,M\le 5\cdot 10^4$，$1\le K \le NM$，$1\le A_i,B_i,C_i,D_i\le 10^5$，输入均为整数。

题目解析

考虑直接求第 $K$ 大不好算，所以考虑二分答案，然后求一个浓度比他大的数量。
考虑两个瓶糖水混合在一起，浓度大于等于 $t$。

$$\dfrac{A_i+C_j}{A_i+B_i+C_j+D_j}\ge t$$

考虑化简，将 $A_i,B_i$ 和 $C_j,D_j$ 分到不等式两边，得到

$$A_i-(A_i+B_i)t\ge-C_j+(C_j+D_j)t$$

这样我们可以按照 $-C_j+(C_j+D_j)t$ 排序，枚举 $i$ 二分 $j$ 即可做到 $\Theta(N\log N)$ 计算。
加上前面二分答案，复杂度就是 $\Theta(N\log M\log W)$，其中 $W=10^{12}$。

坑点：

• long double 防止卡精度
• $K$ 的范围是 $NM=2.5\cdot10^9$，需要 long long

int n,m; ll k; ld l,r,mid,p[maxn],q[maxn];
struct JTZ{
	ld x,y;
}a[maxn],b[maxn];
#define mg(i,j) ((a[i].x+b[j].x)*1.0/(a[i].x+a[i].y+b[j].x+b[j].y))
ll js(){
	int i,le,ri,midd; ll cnt=0;
	for(i=1;i<=n;i++) p[i]=a[i].x-(a[i].x+a[i].y)*mid;
	for(i=1;i<=m;i++) q[i]=-b[i].x+(b[i].x+b[i].y)*mid;
	sort(q+1,q+m+1);
	for(i=1;i<=n;i++){
		le=0,ri=m+1;
		while(le+1<ri){
			midd=(le+ri)>>1;
			if(q[midd]<p[i]+1e-12) le=midd; else ri=midd;
		}
		cnt+=le;
	} return cnt;
}
int main(){
	n=read(); m=read(); k=read(); int i;
	for(i=1;i<=n;i++) a[i].x=read(),a[i].y=read();
	for(i=1;i<=m;i++) b[i].x=read(),b[i].y=read();
	l=0,r=1;
	while(l+EPS<=r){
		mid=(l+r)/2;
		if(js()<k) r=mid; else l=mid;
	}
	printf("%.10Lf",l*100.0);
	return 0;
}