Prufer 序列 学习笔记

定义

Prufer 序列的定义：
对于一个有根树，每次选择编号最小的叶子节点删掉，然后记录他的父亲，直到剩下两个节点，形成一个 $n-2$ 长度的序列。
可以证明这个序列和一个 $n$ 个节点的无根树一一对应。同时也可以证明一个 $n$ 个节点完全图的生成树数量为 $n^{n-2}$。

由树构造 Prufer 序列

显然用堆可以 $\Theta(n\log n)$。
发现如果一个节点删除之后，如果他的父亲成为了新的叶子节点，并且编号比删除的节点小，那么接下来删除的肯定是他的父亲（因为其他的节点编号都比删除的节点大。这样就线性了。$\Theta(n)$。

由 Prufer 序列构造树

根据 Prufer 序列可以得到树的度数。用堆依旧是 $\Theta(n\log n)$。
考虑模仿树构造 Prufer 序列，如果序列中后一个数字比前一个数字更小，那么肯定就是父子关系，否则继续找最小的度数是 $1$ 的节点，同样是线性的。

P6086 【模板】Prufer 序列：

int n,opt,fa[maxn],p[maxn],d[maxn]; 
void S1(){//tree -> prufer 
	int i,j; ll ans=0; for(i=1;i<n;i++) fa[i]=read(),d[fa[i]]++;
	for(i=1,j=1;i<=n-2;i++,j++){
		while(d[j]) j++; p[i]=fa[j];
		while(i<=n-2&&!--d[p[i]]&&p[i]<j) p[i+1]=fa[p[i]],i++;
	} for(i=1;i<=n-2;i++) ans^=1ll*i*p[i]; print(ans); return;
}
void S2(){//prufer -> tree
	int i,j; ll ans=0; for(i=1;i<=n-2;i++) p[i]=read(),d[p[i]]++; p[n-1]=n;
	for(i=1,j=1;i<n;i++,j++){
		while(d[j]) j++; fa[j]=p[i];
		while(i<n&&!--d[p[i]]&&p[i]<j) fa[p[i]]=p[i+1],i++;
	} for(i=1;i<n;i++) ans^=1ll*i*fa[i]; print(ans); return;
}
int main(){
	freopen("1.in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	n=read(); opt=read(); if(opt==1) S1(); else S2(); return 0;
}