CF1734E Rectangular Congruence 题解
为什么只有 VP 才会遇到这种简单 E。
题目大意
给定一个质数 \(n\) 和长度为 \(n\) 的序列 \(b\)，要求构造一个 \(n\times n\) 矩阵 \(a\)，满足所有 \(r_1,r_2,c_1,c_2\)（\(1\le r_1<r_2\le n\)，\(1\le c_1<c_2\le n\)），有 \(a_{r_1,c_1}+a_{r_2,c_2}\not\equiv a_{r_1,c_2}+a_{r_2,c_1}\pmod n\)，同时 \(a_{i,i}=b_i\)。
数据范围：\(2\le n\le 350\)。
题目解析
对原式移项，得到 \(a_{r_1,c_1}-a_{r_1,c_2}\not\equiv a_{r_2,c_2}-a_{r_2,c_2}\pmod n\)。
也就是说，对于任意的 \(1\le l<r\le n\)，\((a_{l,i}-a_{r,i})\bmod n\) 两两不同，换句话说，构成一个 \(0\sim n-1\) 的一个排列。
注意到我们如果给一行都加上一个数不会影响 \(a_{l,i}-a_{r,i}\)，所以 \(a_{i,i}=b_i\) 的限制可以忽略，只需要最后整行加上一个数即可。
接下来考虑如何得到一个任意的合法的 \(a\)。
首先假设 \(a_{2,i}-a_{1,i}=i\)，然后考虑怎么构造 \(a_{3,i}\)。
我们发现直接让 \(a_{3,i}-a_{2,i}=i\) 即可。
换句话说可以直接，\(a_{i,j}=i\times j\bmod n\)。
我们来证明这样是正确的。
换句话说，对于任意的 \(0\le x<n\)，\(xy\bmod n\)（\(0\le y<n\)）两两不同。
使用反证法，假设 \(0\le i<j<n\) 有 \(xi\equiv xj\pmod n\)。
发现因为 \(n\) 是质数，\(\gcd(x,n)=1\)，所以 \(i\equiv j\pmod n\)，得到 \(i=j\)，矛盾，所以假设不成立，证毕。（类似于欧拉定理证明里的一步）
最后为了让 \(a_{i,i}=b_i\)，所以得到 \(a_{i,j}\) 的通项：
int n,b[maxn];
int main(){
n=read(); int i,j; for(i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) print((i*j-i*i%n+b[i]+n)%n),pc(" \n"[j==n]);
return 0;
}
