CF1734E Rectangular Congruence 题解

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为什么只有 VP 才会遇到这种简单 E。

题目大意

给定一个质数 $n$ 和长度为 $n$ 的序列 $b$，要求构造一个 $n\times n$ 矩阵 $a$，满足所有 $r_1,r_2,c_1,c_2$（$1\le r_1<r_2\le n$，$1\le c_1<c_2\le n$），有 $a_{r_1,c_1}+a_{r_2,c_2}\not\equiv a_{r_1,c_2}+a_{r_2,c_1}\pmod n$，同时 $a_{i,i}=b_i$。
数据范围：$2\le n\le 350$。

题目解析

对原式移项，得到 $a_{r_1,c_1}-a_{r_1,c_2}\not\equiv a_{r_2,c_2}-a_{r_2,c_2}\pmod n$。
也就是说，对于任意的 $1\le l<r\le n$，$(a_{l,i}-a_{r,i})\bmod n$ 两两不同，换句话说，构成一个 $0\sim n-1$ 的一个排列。
注意到我们如果给一行都加上一个数不会影响 $a_{l,i}-a_{r,i}$，所以 $a_{i,i}=b_i$ 的限制可以忽略，只需要最后整行加上一个数即可。

接下来考虑如何得到一个任意的合法的 $a$。
首先假设 $a_{2,i}-a_{1,i}=i$，然后考虑怎么构造 $a_{3,i}$。
我们发现直接让 $a_{3,i}-a_{2,i}=i$ 即可。
换句话说可以直接，$a_{i,j}=i\times j\bmod n$。
我们来证明这样是正确的。

换句话说，对于任意的 $0\le x<n$，$xy\bmod n$（$0\le y<n$）两两不同。
使用反证法，假设 $0\le i<j<n$ 有 $xi\equiv xj\pmod n$。
发现因为 $n$ 是质数，$\gcd(x,n)=1$，所以 $i\equiv j\pmod n$，得到 $i=j$，矛盾，所以假设不成立，证毕。（类似于欧拉定理证明里的一步）

最后为了让 $a_{i,i}=b_i$，所以得到 $a_{i,j}$ 的通项：

$$a_{i,j}=(i\times j-i\times i+b_i)\bmod n$$

int n,b[maxn];
int main(){
	n=read(); int i,j; for(i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
	for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) print((i*j-i*i%n+b[i]+n)%n),pc(" \n"[j==n]);
	return 0;
}