CF1389E Calendar Ambiguity 题解

题面传送门 to luogu

题目大意

假设一年有 $m$ 月，每个月有 $d$ 天，每周有 $w$ 天。保证一年的第一天一定是周一。
求 $(x,y)$，满足 $x<y$ 并且 $x$ 月 $y$ 日和 $y$ 月 $x$ 日是同一个星期。
$1\le m,d,w\le 10^9$。

题目解析

这是我最近写的最短最简洁的 *2200。

由题意得

$$dx+y\equiv dy+x \pmod w$$

移项

$$(d-1)x\equiv(d-1)y\pmod w$$

我们设 $\gcd(d-1,w)=t$，$a=\dfrac{d-1}{t},p=\dfrac{w}{t}$。
那么

$$ax\equiv ay\pmod p$$

由于 $\gcd(a,p)=1$，所以两边同是乘上 $a$ 模 $p$ 的逆元，所以就有

$$x\equiv y\pmod p$$

然后注意到 $1\le x<y<\min\{m,d\}$，设 $lim=\min\{m,d\}$。
那么如果 $0<x\bmod p\le lim\bmod p$，那么 $(x,y)$ 的取值就有 $\lfloor \dfrac{lim}{p}\rfloor\times(\lfloor\dfrac{lim}{p}\rfloor+1)$ 种，否则则有 $\lfloor \dfrac{lim}{p}\rfloor\times(\lfloor\dfrac{lim}{p}\rfloor-1)$ 种。

int m,d,w,g,p,lim,l,r,ti;
int gcd(int x,int y){ if(!x||!y) return x|y; return gcd(y,x%y); }
void work(){
	m=read(); d=read(); w=read();
	p=w/gcd(d-1,w); lim=mmin(m,d); l=lim%p; r=p-l; ti=lim/p;
	print(1ll*l*ti*(ti+1)/2+1ll*r*ti*(ti-1)/2),pc('\n');
}