CF1787H Codeforces Scoreboard 题解

可能更好的阅读体验
upd: 2023.11.9 突然想到想来修缮一下题解。
upd: 2024.10.16 感谢 @Mirasycle 指出了错误，官方题解已经更正。
什么时候给的黑，感觉应该不至于?
DP 优化部分感谢 @rsjw 的 slope trick 思路。

solution

首先不考虑对 $a_i$ 取 $\max$，显然直接按照 $k$ 降序排序最优。
接下来考虑 $a_i$ 的限制，如果取到了 $a_i$ 一定放在最后面最优。
为了方便设 $f_{i,j}$ 为前 $i$ 个，$j$ 个数字不取 $\max$，最后答案和 $\sum b$ 的差的最小值。
设 $lim_i=b_i-a_i$

$$f_{i,j}=\left\{ \begin{aligned} f_{i-1,j}+lim_i & & j=0 \\ \min\{f_{i-1,j}+lim_i,f_{i-1,j-1}+k_i\times j\} & & j>0 \end{aligned} \right.$$

这样时间复杂度为 $\Theta\left(n^2\right)$。

考虑优化。
首先对于样例输出一个整个 $f$。
我们通过观察样例发现对于给定的 $i$，在 $j$ 改变的时候是下凸的。
对 $j$ 一维差分，设 $g_{i,j}=f_{i,j}-f_{i,j-1}(j>0)$。
我们可以发现 $g_i$ 到 $g_{i+1}$ 的变化似乎很有规律，可以试着直接用数据结构来优化这个转移（slope trick）。
我们利用 $f_{i,j}$ 的转移把 $g_{i,j}$ 的转移算出来
默认 $1<j<i$，将 $f_{i,j}=f_{i,0}+\sum\limits_{k=1}^jg_{i,k}$ 带入 $f_{i,j}$ 的递推式。

得到

$$f_{i,0}+\sum_{k=1}^{j}g_{i,k}=\min\{f_{i-1,0}+\sum_{k=1}^{j}g_{i-1,k}+lim_i,f_{i-1,0}+\sum_{k=1}^{j-1}g_{i-1,k}+k_i\times j\}$$

化简得

$$lim_i+\sum_{k=1}^{j}g_{i,k}=\sum_{k=1}^{j-1}g_{i-1,k}+\min\{g_{i-1,j}+lim_i,k_i\times j\}$$

对于上式用 $j-1$ 代替 $j$

$$lim_i+\sum_{k=1}^{j-1}g_{i,k}=\sum_{k=1}^{j-2}g_{i-1,k}+\min\{g_{i-1,j-1}+lim_i,k_i\times (j-1)\}$$

两式相减，得到

$$g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+\min\{g_{i-1,j}+lim_i,k_i\times j\}-\min\{g_{i-1,j-1}+lim_i,k_i\times (j-1)\}$$

由于 $k$ 单调不增，对 $i$ 归纳可以发现，对自变量 $j$，$g_{i-1,j}$ 的增长速度不会比 $k_i\times j$ 慢。所以随着 $j$ 的增大，存在一个分界点，使得 $\min\{g_{i-1,j}+lim_i,k_i\times j\}$ 前一段的取到 $g_{i-1,j}$，后一段取到 $lim_i,k_i\times j$。

因此，从 $g_i$ 到 $g_{i+1}$，分别是三段转移：第一段不变，第二段为新增加的一个数字，第三段区间加一个数。

最后答案为最大前缀和。

用平衡树维护这个变化过程，$O(n\log n)$。

https://codeforces.com/contest/1787/submission/191206679