CF1787H Codeforces Scoreboard 题解

可能更好的阅读体验
upd: 2023.11.9 突然想到想来修缮一下题解。
什么时候给的黑，感觉应该不至于?
DP 优化部分感谢 @rsjw 的 slope trick 思路。

solution

首先不考虑对 \(a_i\) 取 \(\max\)，显然直接按照 \(k\) 降序排序最优。
接下来考虑 \(a_i\) 的限制，如果取到了 \(a_i\) 一定放在最后面最优。
为了方便设 \(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 个，\(j\) 个数字不取 \(\max\)，最后答案和 \(\sum b\) 的差的最小值。
设 \(lim_i=b_i-a_i\)

\[f_{i,j}=\left\{ \begin{aligned} f_{i-1,j}+lim_i & & j=0 \\ \min\{f_{i-1,j}+lim_i,f_{i-1,j-1}+k_i\times j\} & & j>0 \end{aligned} \right. \]

这样时间复杂度为 \(\Theta\left(n^2\right)\)。

考虑优化。
首先对于样例输出一个整个 \(f\)。
我们通过观察样例发现对于给定的 \(i\)，在 \(j\) 改变的时候是下凸的。
对 \(j\) 一维差分，设 \(g_{i,j}=f_{i,j}-f_{i,j-1}(j>0)\)。
我们可以发现 \(g_i\) 到 \(g_{i+1}\) 的变化似乎很有规律，可以试着直接用数据结构来优化这个转移（slope trick）。
我们利用 \(f_{i,j}\) 的转移把 \(g_{i,j}\) 的转移算出来
默认 \(1<j<i\)，将 \(f_{i,j}=f_{i,0}+\sum\limits_{k=1}^jg_{i,k}\) 带入 \(f_{i,j}\) 的递推式。

得到

\[f_{i,0}+\sum_{k=1}^{j}g_{i,k}=\min\{f_{i-1,0},\sum_{k=1}^{j}g_{i-1,k}+lim_i,f_{i-1,0}+\sum_{k=1}^{j-1}g_{i-1,k}+k_i\times j\} \]

化简得

\[lim_i+\sum_{k=1}^{j}g_{i,k}=\sum_{k=1}^{j-1}g_{i-1,k}+\min\{g_{i-1,j}+lim_i,k_i\times j\} \]

对于上式用 \(j-1\) 代替 \(j\)

\[lim_i+\sum_{k=1}^{j-1}g_{i,k}=\sum_{k=1}^{j-2}g_{i-1,k}+\min\{g_{i-1,j-1}+lim_i,k_i\times (j-1)\} \]

两式相减，得到

\[g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+\min\{g_{i-1,j}+lim_i,k_i\times j\}-\min\{g_{i-1,j-1}+lim_i,k_i\times (j-1)\} \]

由于 \(k\) 单调不增，对 \(i\) 归纳可以发现，对自变量 \(j\)，\(g_{i-1,j}\) 的增长速度不会比 \(k_i\times j\) 慢。所以随着 \(j\) 的增大，存在一个分界点，使得 \(\min\{g_{i-1,j}+lim_i,k_i\times j\}\) 前一段的取到 \(g_{i-1,j}\)，后一段取到 \(lim_i,k_i\times j\)。

因此，从 \(g_i\) 到 \(g_{i+1}\)，分别是三段转移：第一段不变，第二段为新增加的一个数字，第三段区间加一个数。

最后答案为最大前缀和。

用平衡树维护这个变化过程，\(O(n\log n)\)。

https://codeforces.com/contest/1787/submission/191206679