CF1748D ConstructOR 题解

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题目大意

给定 $a,b,d$，要求找到一个 $0\le x\le 2^{60}$，满足 $a|x,b|x$ 都是 $d$ 的倍数（$|$ 代表按位或）。
$T\le 10^4$，$0\le a,b,d\le 2^{30}$

题目解析

乍一看没什么思路，赛时想了很久才做出来。

显然当 $a,b$ 的最低位的 $1$ 比 $d$ 的最低位还要低的时候，无解。
首先我们发现要让两个数字都是 $d$ 的倍数就很麻烦，所以我们可以试着让这两个数字变成一个数字。
设 $c=a|b$，那么其实只要让 $x|c=x$ 并且 $x$ 是 $d$ 的因数就可以了。
因为 $x|c=x$，所以不难发现 $x$ 的一些位必定为 $1$。
从低位到高位考虑 $x$ 的每一个限制。如果当前 $x$ 的这一位是 $0$，但是 $c$ 的这一位是 $1$，那么我们就把 $d$ 的最低位的 $1$ 通过移位操作和这一位对齐，然后加上移位后的数字，这样这一位就是 $1$ 了。
因为 $a,b,d\le 2^{30}$ 所以这样构造出来的 $x$ 满足 $x\le(a|b)\times d\le 2^{60}$，一定合法。
时间复杂度 $O(\log a)$

ll a,b,c,d,ans; int cnt;
void work(){
	a=read(); b=read(); c=a|b; d=read(); ans=0; int i;
	cnt=0; for(i=0;i<30;i++) if(d&(1<<i)){ cnt=i; break; }
	for(i=0;i<30;i++) if((c&(1<<i))&&!(ans&(1<<i))){
		if(i<cnt){ puts("-1"); return; }
		ans+=(d<<(i-cnt));
	} print(ans),pc('\n'); assert((a|ans)%d==0&&(b|ans)%d==0); return;
}