CF1748D ConstructOR 题解

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题目大意

给定 \(a,b,d\)，要求找到一个 \(0\le x\le 2^{60}\)，满足 \(a|x,b|x\) 都是 \(d\) 的倍数（\(|\) 代表按位或）。
\(T\le 10^4\)，\(0\le a,b,d\le 2^{30}\)

题目解析

乍一看没什么思路，赛时想了很久才做出来。

显然当 \(a,b\) 的最低位的 \(1\) 比 \(d\) 的最低位还要低的时候，无解。
首先我们发现要让两个数字都是 \(d\) 的倍数就很麻烦，所以我们可以试着让这两个数字变成一个数字。
设 \(c=a|b\)，那么其实只要让 \(x|c=x\) 并且 \(x\) 是 \(d\) 的因数就可以了。
因为 \(x|c=x\)，所以不难发现 \(x\) 的一些位必定为 \(1\)。
从低位到高位考虑 \(x\) 的每一个限制。如果当前 \(x\) 的这一位是 \(0\)，但是 \(c\) 的这一位是 \(1\)，那么我们就把 \(d\) 的最低位的 \(1\) 通过移位操作和这一位对齐，然后加上移位后的数字，这样这一位就是 \(1\) 了。
因为 \(a,b,d\le 2^{30}\) 所以这样构造出来的 \(x\) 满足 \(x\le(a|b)\times d\le 2^{60}\)，一定合法。
时间复杂度 \(O(\log a)\)

ll a,b,c,d,ans; int cnt;
void work(){
	a=read(); b=read(); c=a|b; d=read(); ans=0; int i;
	cnt=0; for(i=0;i<30;i++) if(d&(1<<i)){ cnt=i; break; }
	for(i=0;i<30;i++) if((c&(1<<i))&&!(ans&(1<<i))){
		if(i<cnt){ puts("-1"); return; }
		ans+=(d<<(i-cnt));
	} print(ans),pc('\n'); assert((a|ans)%d==0&&(b|ans)%d==0); return;
}