莫比乌斯反演&狄利克雷卷积 学习笔记

目录

• 函数定义
  • 欧拉函数
  • 莫比乌斯函数
  • 其他函数
• 积性函数
• 狄利克雷卷积
  • 常见函数的狄利克雷卷积
• 莫比乌斯变换
• 某个常用引理
• 常见套路

函数定义

数论函数：定义域为正整数的函数可以被称作是数论函数。
$[P]$ 代表 $P$ 命题成立时为 $1$，否则为 $0$。

欧拉函数

$$\varphi(n)=\sum_{i=1}^{n-1}[gcd(i,n)=1]$$

显然对于任意的质数 $p$ 都有 $\varphi(p)=p-1$

莫比乌斯函数

$$\mu(n)= \left\{ \begin{aligned} 1 & & & n=1\\ 0 & & & n\ \text{有平方因子} \\ \left(-1\right)^k & & & k \text{为}\ n\ \text{的本质不同的质因子数} \end{aligned} \right.$$

其他函数

幂函数：$\operatorname{Id}_k(n)=n^k$，特别的 $\operatorname{Id}(n)=n$
除数函数：$\sigma_k(n)=\sum_{i|n}i^k$
常数函数：$1(n)=1$
单位函数：$\epsilon(n)=[n=1]$
因数个数：$\operatorname{d}(n)=\sum_{d|k}1=\sigma_0(n)$

积性函数

如果对于一个数论函数 $f(n)$，如果 $\forall a,b \in \N_+,\gcd(a,b)=1$，有 $f(a)\times f(b)=f(a\times b)$，那么称 $f(n)$ 为 积性函数。
如果对于一个数论函数 $f(n)$，如果 $\forall a,b \in \N_+$，有 $f(a)\times f(b)=f(a\times b)$，那么称 $f(n)$ 为 完全积性函数。
以上提到的所有函数都是吧积性函数。

狄利克雷卷积

假设现在有两个数论函数 $f(n),g(n)$，定义这两个函数的狄利克雷卷积为 $(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right)$

狄利克雷卷积有以下性质：
交换律：$f*g=g*f$
结合律：$(f*g)*h=f*(g*h)$
对加法的分配律：$f*(g+h)=f*g+f*h$

如果 $f,g$ 为积性函数，那么 $f*g$ 是积性函数

常见函数的狄利克雷卷积

$$\large\operatorname{Id}_k * 1=\sigma_k$$

证明略（定义直接带入即可）

$$\large\mu * 1=\epsilon$$

证明：
$n=1$ 时显然成立，所以只要考虑 $n\not=1$
设 $n=\prod\limits^{k}_{i=1} p_i^{c_i},n'=\prod\limits^{k}_{i=1}p_i$
那么
$\begin{aligned} (\mu * 1)(n) =\sum\limits_{d|n}\mu(d) =\sum\limits_{d|n'}\mu(d) =\sum\limits_{i=0}^{k}C^{i}_{k}\left(-1\right)^{i} =\left(1+\left(-1\right)\right)^k =0 \end{aligned}$

$$\large \begin{aligned} \varphi * 1 &= \operatorname{Id} \\ \varphi &= \operatorname{Id}*\mu \end{aligned}$$

证明：
先证明第一条，因为 $\varphi$ 为积性函数，那么只需要证明 $n=p^k$（$p$ 为质数）的时候成立就可以了。
$\begin{aligned} (\varphi*1)\left(n\right) = \sum\limits_{d|n}\varphi(d) = \sum\limits_{i=0}^k = 1 + \sum\limits_{i=1}^{k}p^{i-1}(p-1) = p^k \end{aligned}$
得到第一条之后，等式两边同时卷上 $\mu$，然后利用前面的结论就可以证明第二条。

莫比乌斯变换

如果 $g=f*1$
那么就有 $g*\mu=f*1*\mu=f*(1*\mu)=f*\epsilon=f$
这样就可以做到用 $f*1$ 表示 $f$，其实也就是 $f=f*\epsilon=f*\mu*1=(f*1)*\mu$

某个常用引理

我也不知道扔哪里了，就放这里吧

$$\forall a,b,c\in \Z,abc\not=0, \left\lfloor\dfrac{a}{bc}\right\rfloor =\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor}{c}\right\rfloor$$

证明：
设

$$\dfrac{a}{b}=\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor+r,0\le r<1$$

那么

$$\left\lfloor\dfrac{a}{bc}\right\rfloor =\left\lfloor\left(\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor+r\right)\times\dfrac{1}{c}\right\rfloor =\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor}{c}+\dfrac{r}{c}\right\rfloor =\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor}{c}\right\rfloor$$

常见套路

1. $[n=1]$ 用 $\epsilon=\mu*1$ 带入
2. 遇到 $\gcd$（$\operatorname{lcm}$ 也可以直接转变为 $\gcd$），多加一层求和，枚举 $\gcd$，这样就可以出现 $[\gcd(x,y)=k]$ 的形式，然后把 $x,y$ 都除以 $k$，得到 $[\gcd(\dfrac{x}{k},\dfrac{y}{k})=1]$，转变为枚举 $\dfrac{x}{k},\dfrac{y}{k}$
3. 改变枚举顺序可以化简式子，通常是把 $\epsilon(n)=\mu*1=\sum\limits_{x|n}\mu(x)$ 中的 $x$ 枚举顺序提前
4. 遇到 $\left\lfloor\dfrac{n}{bc}\right\rfloor$ 的时候，设 $T=bc$，并且把 $T$ 枚举顺序提前
5. 最后化简完毕一般是一个可以线性筛或者一些其他解法预处理数论函数前缀和+乘除分块计算的式子

可能这些套路需要结合一些题目才能理解吧。
一个转存的别人的题单