FHQ-Treap 学习笔记
前置知识：带旋Treap
FHQ-Treap 不同于普通的 Treap，FHQ-Treap 不需要通过旋转来执行操作，而是通过两个核心操作：分裂与合并。
节点的存储的信息和初始化还是和原来一样。
struct JTZ{
int ls,rs,siz,val,f;
}tr[maxn]; int K,root,T,opt,x;
int newnode(int x){ K++; tr[K].siz=1; tr[K].val=x; tr[K].f=rand(); return K; }
void up(int x){ tr[x].siz=tr[tr[x].ls].siz+tr[tr[x].rs].siz+1; return; }
void init(){
newnode(-INF); newnode(INF); tr[1].rs=2; up(2); up(1);
if(tr[1].f>tr[2].f) mswap(tr[1].f,tr[2].f); root=1; return;
}
分裂
如果有一棵 Treap，对应的值域为 \([l,r]\)，考虑把这棵 Treap 分裂成 \([l,k]\) 和 \([k+1,r]\) 两个部分。
分裂的时候，如果当前根在左半部分左半部分的根就是当前节点，在右半部分右半部分的根就是当前节点，然后递归左右子树即可。分裂的时候因为原来的父子关系就是合法的，所以不需要考虑堆的性质。
最后记得 pushup 当前根节点。
void split(int p,int k,int &x,int &y){//代表当前根为 p，分裂的中间值 k 分裂成的左右子树为 x,y
if(!p){ x=y=0; return; }
if(tr[p].val<=k){ x=p; split(tr[p].rs,k,tr[p].rs,y); }
else { y=p; split(tr[p].ls,k,x,tr[p].ls); } up(p); return;
}
合并
合并就是分裂的逆过程，注意合并要求两个子树对应的区间 \([a,b],[c,d]\) 满足 \(b\le c\)。
显然如果有一个为空就不需要合并。
考虑左右两个根节点的堆的值。
考虑维护堆性质，如果左边的比右边的大，那么左边的根就合并完的根，然后接下去递归合并左边根的右儿子为根的子树和右边的子树，合并完放在左边根的右儿子；如果右边的比左边大也是一样的。
最后还是要记得 pushup 合并完之后的根节点。
int merge(int x,int y){//代表合并左边的根为 x 右边的根为 y 返回值为合并完自会后的根节点
if(!x||!y) return x|y;
if(tr[x].f<tr[y].f){ tr[x].rs=merge(tr[x].rs,y); up(x); return x; }
else { tr[y].ls=merge(x,tr[y].ls); up(y); return y; }
}
其他细节
有了这两个操作，我们就可以完成 Luogu P3369 【模板】普通平衡树 中的操作了。
插入 \(x\)：把原来的树分裂成 \([-\infin,x]\) 和 \([x+1,\infin]\) 两段，然后把原来的两部分以及新加入的一个 \(x\) 节点这三部分合并起来就好了。
删除 \(x\)：把树分裂成 \([-\infin,x-1],[x,x],[x+1,\infin]\) 三个部分，然后把 \([x,x]\) 这一段的根节点的左右儿子合并成为新的 \([x,x]\) 这一段的子树，然后合并这三段。
其他的操作是一样的。
代码：
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define db double
#define gc getchar
#define pc putchar
#define U unsigned
#define ll long long
#define ld long double
#define ull unsigned long long
#define Tp template<typename _T>
#define Me(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
Tp _T mabs(_T a){ return a>0?a:-a; }
Tp _T mmax(_T a,_T b){ return a>b?a:b; }
Tp _T mmin(_T a,_T b){ return a<b?a:b; }
Tp void mswap(_T &a,_T &b){ _T tmp=a; a=b; b=tmp; return; }
Tp void print(_T x){ if(x<0) pc('-'),x=-x; if(x>9) print(x/10); pc((x%10)+48); return; }
#define EPS (1e-7)
#define INF (0x7fffffff)
#define LL_INF (0x7fffffffffffffff)
#define maxn 100039
#define maxm
#define MOD
#define Type int
#ifndef ONLINE_JUDGE
#define debug
#endif
using namespace std;
Type read(){
char c=gc(); Type s=0; int flag=0;
while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=gc(); if(c=='-') c=gc(),flag=1;
while('0'<=c&&c<='9'){ s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48); c=gc(); }
if(flag) return -s; return s;
}
struct JTZ{
int ls,rs,siz,val,f;
}tr[maxn]; int K,root,T,opt,x;
int newnode(int x){ K++; tr[K].siz=1; tr[K].val=x; tr[K].f=rand(); return K; }
void up(int x){ tr[x].siz=tr[tr[x].ls].siz+tr[tr[x].rs].siz+1; return; }
void init(){
newnode(-INF); newnode(INF); tr[1].rs=2; up(2); up(1);
if(tr[1].f>tr[2].f) mswap(tr[1].f,tr[2].f); root=1; return;
}
void split(int p,int k,int &x,int &y){
if(!p){ x=y=0; return; }
if(tr[p].val<=k){ x=p; split(tr[p].rs,k,tr[p].rs,y); }
else { y=p; split(tr[p].ls,k,x,tr[p].ls); } up(p); return;
}
int merge(int x,int y){
if(!x||!y) return x|y;
if(tr[x].f<tr[y].f){ tr[x].rs=merge(tr[x].rs,y); up(x); return x; }
else { tr[y].ls=merge(x,tr[y].ls); up(y); return y; }
}
void insert(int k){ int x,y; split(root,k,x,y); root=merge(merge(x,newnode(k)),y); return; }
void del(int k){
int x,y,z; split(root,k,x,z); split(x,k-1,x,y);
y=merge(tr[y].ls,tr[y].rs); root=merge(merge(x,y),z); return;
}
int findrk(int p,int x){
if(!p) return 0;
if(x<=tr[p].val) return findrk(tr[p].ls,x);
else return tr[tr[p].ls].siz+1+findrk(tr[p].rs,x);
}
int findval(int p,int x){
if(x==tr[tr[p].ls].siz+1) return tr[p].val;
else if(x<=tr[tr[p].ls].siz) return findval(tr[p].ls,x);
else return findval(tr[p].rs,x-tr[tr[p].ls].siz-1);
}
int findpre(int p,int x){
if(!p) return -INF;
if(tr[p].val>=x) return findpre(tr[p].ls,x);
else return mmax(tr[p].val,findpre(tr[p].rs,x));
}
int findnex(int p,int x){
if(!p) return INF;
if(tr[p].val<=x) return findnex(tr[p].rs,x);
else return mmin(tr[p].val,findnex(tr[p].ls,x));
}
int main(){
srand(time(0)); init(); T=read(); while(T--){
opt=read(); x=read();
if(opt==1) insert(x); else if(opt==2) del(x);
else if(opt==3) print(findrk(root,x)),pc('\n');
else if(opt==4) print(findval(root,x+1)),pc('\n');
else if(opt==5) print(findpre(root,x)),pc('\n');
else print(findnex(root,x)),pc('\n');
}
return 0;
}
