Luogu P2303 [SDOI2012] Longge 的问题 题解

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题目大意

求 $$\sum_{i=1}^{n}\gcd(i,n)$$
其中 \(1\le n\le 2^{32}\)

题目解析

遇到 \(\gcd\) 的一个普遍讨论套路：枚举 \(\gcd\) 的值，然后改变枚举顺序。

\[\begin{aligned} & \sum_{i=1}^n \gcd(i,n) \\ = & \sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=d]\\ = & \sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{n/d}[\gcd(i,n)=1]\\ = & \sum_{d|n}^{n}d \times \varphi(n/d) \end{aligned} \]

然后枚举 \(n\) 的因数就可以了。
复杂度 \(O(\sqrt{n})\)

小提示：十年 OI 一场空，不开 long long 见祖宗

代码：

ll phi(ll x){
	ll i,tmp,res; tmp=res=x;
	for(i=2;i*i<=x;i++) if(tmp%i==0){ while(tmp%i==0) tmp/=i; res=res/i*(i-1); }
	if(tmp!=1) res=res/tmp*(tmp-1);
	return res;
}
ll n,ans;
int main(){
	n=read(); ll i;
	for(i=1;i*i<=n;i++) if(n%i==0){
		ans+=(ll)i*phi(n/i);
		if(i*i!=n) ans+=(ll)(n/i)*phi(i);
	} print(ans); return 0;
}