CF1659E AND-MEX Walk 题解

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题目大意

给定一个无向带权图，总共有 $n$ 个点 $m$ 条边，选定一个起点 $u$ 和终点 $v$，现在你需要确定一条路径，设路径上的 $k$ 条边的边权为 $w_1,w_2,\dots,w_k$，求出 $\operatorname{MEX}\left(\{w_1,w_1 \& w_2,w_1\&w_2\&w_3,\dots,w_1\&w_2\&\dots\&w_k\}\right)$ 的最小值。其中 MEX 指集合中最小的不存在的自然数。
数据范围：$n,m\le 10^5$，边权 $\le 2^{30}$。

题目解析

设路径上的 $k$ 条边的边权为 $w_1,w_2,\dots,w_k$，为了方便设序列 $w_1,w_1 \& w_2,w_1\&w_2\&w_3,\dots,w_1\&w_2\&\dots\&w_k$ 的第 $i$ 项为 $a_i$。

首先我们通过样例发现一个结论：答案只可能是 $0,1,2$。
其实就是证明答案不是 $0,1$ 的时候答案为 $2$,证明如下：
我们发现序列 $\{a_n\}$ 不增。
如果答案不是 $0,1$，那么序列中就一定存在 $0,1$，如果答案不是 $2$，那么肯定存在一个数字 $i$ 使得 $a_i=2$ 并且 $a_{i+1}=1$，也就是说 $2\&w_{i+1}=1$，显然不成立。

这样我们只需要判断答案是否为 $0$，然后判断答案是否为 $1$，如果都不是那么答案就是 $2$。

答案为 $0$ 的时候很简单，我们只需要判断是否从 $u$ 到 $v$ 存在一条路径，使得这条路径上的所有边权在二进制下某一位都为 $1$。只需要每一位建立一个并查集就可以了。

然后就是答案为 $1$ 的情况了。
不难发现答案为 $1$ 的时候，一定存在一个 $r$ 使得 $\forall i\le r,a_i>1$ 并且 $a_{r+1}=0$。
换句话说，只要在走这一条边之前的与和大于 $1$，走之后与和为 $0$ 就可以了，然后接下来怎么走都可以，所以这样答案与终点无关。
那么怎么得到这样一条路径呢？
显然我们需要选定一位 $i$（不能是二进制下最低的一位！），然后从出发点走遍所有边权二进制这一位为 $1$ 的边，然后我们只需要找是否存在一条边能够让与和变成 $0$。
具体用代码实现的话需要利用前面建立的并查集，并且记录每一个点所有的出边的边权的与和 $f_i$，然后算出在同一个联通块里面的点 $f_i$ 的与和，如果是 $0$ 代表这一个联通块内的点作为出发点可以做到答案为 $1$。

如果答案不是 $0$ 也不是 $1$，那么答案就是 $2$ 了。

代码：

#include<cstdio>
#define gc getchar
#define maxn 100039
using namespace std;
int read(){
	char c=gc(); int s=0; int flag=0;
	while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=gc(); if(c=='-') c=gc(),flag=1;
	while('0'<=c&&c<='9'){ s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48); c=gc(); }
	if(flag) return -s; return s;
}
int n,m,u,v,w,T,fa[30][maxn],f[maxn],s[maxn],flag[maxn];
int getfa(int x,int y){ if(fa[x][y]==y) return y; else return fa[x][y]=getfa(x,fa[x][y]); }
int check0(){ int i; for(i=0;i<30;i++) if(getfa(i,u)==getfa(i,v)) return 1; return 0; }
int main(){
	n=read(); m=read(); int i,j,k; for(i=0;i<30;i++) for(j=1;j<=n;j++) fa[i][j]=j;
	for(i=1;i<=n;i++) f[i]=(1<<30)-1;
	for(i=1;i<=m;i++){
		u=read(); v=read(); w=read(); f[u]&=w; f[v]&=w;
		for(j=0;j<30;j++) if(w&(1<<j)) fa[j][getfa(j,u)]=getfa(j,v);
	}
	for(k=1;k<30;k++){
		for(i=1;i<=n;i++) s[i]=(1<<30)-1;
		for(i=1;i<=n;i++) s[getfa(k,i)]&=f[i];
		for(i=1;i<=n;i++) if(s[getfa(k,i)]==0) flag[i]=1;
	} T=read(); while(T--){
		u=read(); v=read(); if(check0()) puts("0"); else if(flag[u]) puts("1"); else puts("2");
	} return 0;
}