CF1659E AND-MEX Walk 题解
题目大意
给定一个无向带权图，总共有 \(n\) 个点 \(m\) 条边，选定一个起点 \(u\) 和终点 \(v\)，现在你需要确定一条路径，设路径上的 \(k\) 条边的边权为 \(w_1,w_2,\dots,w_k\)，求出 \(\operatorname{MEX}\left(\{w_1,w_1 \& w_2,w_1\&w_2\&w_3,\dots,w_1\&w_2\&\dots\&w_k\}\right)\) 的最小值。其中 MEX 指集合中最小的不存在的自然数。
数据范围：\(n,m\le 10^5\)，边权 \(\le 2^{30}\)。
题目解析
设路径上的 \(k\) 条边的边权为 \(w_1,w_2,\dots,w_k\)，为了方便设序列 \(w_1,w_1 \& w_2,w_1\&w_2\&w_3,\dots,w_1\&w_2\&\dots\&w_k\) 的第 \(i\) 项为 \(a_i\)。
首先我们通过样例发现一个结论：答案只可能是 \(0,1,2\)。
其实就是证明答案不是 \(0,1\) 的时候答案为 \(2\),证明如下：
我们发现序列 \(\{a_n\}\) 不增。
如果答案不是 \(0,1\)，那么序列中就一定存在 \(0,1\)，如果答案不是 \(2\)，那么肯定存在一个数字 \(i\) 使得 \(a_i=2\) 并且 \(a_{i+1}=1\)，也就是说 \(2\&w_{i+1}=1\)，显然不成立。
这样我们只需要判断答案是否为 \(0\)，然后判断答案是否为 \(1\)，如果都不是那么答案就是 \(2\)。
答案为 \(0\) 的时候很简单，我们只需要判断是否从 \(u\) 到 \(v\) 存在一条路径，使得这条路径上的所有边权在二进制下某一位都为 \(1\)。只需要每一位建立一个并查集就可以了。
然后就是答案为 \(1\) 的情况了。
不难发现答案为 \(1\) 的时候，一定存在一个 \(r\) 使得 \(\forall i\le r,a_i>1\) 并且 \(a_{r+1}=0\)。
换句话说，只要在走这一条边之前的与和大于 \(1\)，走之后与和为 \(0\) 就可以了，然后接下来怎么走都可以，所以这样答案与终点无关。
那么怎么得到这样一条路径呢？
显然我们需要选定一位 \(i\)（不能是二进制下最低的一位！），然后从出发点走遍所有边权二进制这一位为 \(1\) 的边，然后我们只需要找是否存在一条边能够让与和变成 \(0\)。
具体用代码实现的话需要利用前面建立的并查集，并且记录每一个点所有的出边的边权的与和 \(f_i\)，然后算出在同一个联通块里面的点 \(f_i\) 的与和，如果是 \(0\) 代表这一个联通块内的点作为出发点可以做到答案为 \(1\)。
如果答案不是 \(0\) 也不是 \(1\)，那么答案就是 \(2\) 了。
代码：
#include<cstdio>
#define gc getchar
#define maxn 100039
using namespace std;
int read(){
char c=gc(); int s=0; int flag=0;
while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=gc(); if(c=='-') c=gc(),flag=1;
while('0'<=c&&c<='9'){ s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48); c=gc(); }
if(flag) return -s; return s;
}
int n,m,u,v,w,T,fa[30][maxn],f[maxn],s[maxn],flag[maxn];
int getfa(int x,int y){ if(fa[x][y]==y) return y; else return fa[x][y]=getfa(x,fa[x][y]); }
int check0(){ int i; for(i=0;i<30;i++) if(getfa(i,u)==getfa(i,v)) return 1; return 0; }
int main(){
n=read(); m=read(); int i,j,k; for(i=0;i<30;i++) for(j=1;j<=n;j++) fa[i][j]=j;
for(i=1;i<=n;i++) f[i]=(1<<30)-1;
for(i=1;i<=m;i++){
u=read(); v=read(); w=read(); f[u]&=w; f[v]&=w;
for(j=0;j<30;j++) if(w&(1<<j)) fa[j][getfa(j,u)]=getfa(j,v);
}
for(k=1;k<30;k++){
for(i=1;i<=n;i++) s[i]=(1<<30)-1;
for(i=1;i<=n;i++) s[getfa(k,i)]&=f[i];
for(i=1;i<=n;i++) if(s[getfa(k,i)]==0) flag[i]=1;
} T=read(); while(T--){
u=read(); v=read(); if(check0()) puts("0"); else if(flag[u]) puts("1"); else puts("2");
} return 0;
}
