BSGS 学习笔记

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题目大意：求关于 \(x\) 的方程 \(a^x\equiv b\pmod p\) 的最小整数解，其中 \(p\) 为质数，且 \(2\le a,b<p<2^{31}\)。（这里换了一下字母，主要是为了方便）

题目解析

因为 \(p\) 为质数，根据欧拉定理/费马小定理可知 \(a\equiv a^{p-1}\pmod p\)，也就是说，最小解肯定小于 \(p\)，这样就可以使用 BSGS 来求解。

算法实现

B（拔）S（山）G（盖）S（世），全称为 baby step gaint step，翻译为小步大步算法，该算法可以用来解关于 \(x\) 的方程 \(a^x\equiv b\pmod p\) 并且满足 \(\gcd\left(a,p\right)=1\) 在 \([0,p]\) 的解。
算法思路大致如下：
令 \(t=\lceil\sqrt{p}\rceil\)，对 \(x\) 模 \(t\) 讨论。
设 \(x=At-B\)，其中 \(0<A\le t\) 且 \(0\le B<t\)。
那么原方程就化为

\[a^{At-B}\equiv b\pmod p \]

展开得到

\[\begin{equation} \left(a^t\right)^A\left(a^B\right)^{-1}\equiv b\pmod p \end{equation} \]

其实就是

\[\left(a^t\right)^A\equiv ba^B\pmod p \]

这样我们只需要先枚举 \(B\)，扔到哈希表里面，然后枚举 \(A\) 查询即可。
这样复杂度就由暴力的 \(O\left(p\right)\) 降到了 \(O\left(\sqrt{p}\right)\)。

说明：由于 \(\left(1\right)\) 式中出现了 \(a^B\) 在模 \(p\) 意义下的逆元，所以为了保证式子有意义，所以要求 \(\gcd\left(a,p\right)=1\)。

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define db double
#define gc getchar
#define pc putchar
#define U unsigned
#define ll long long
#define ld long double
#define ull unsigned long long
#define Tp template<typename _T>
#define Me(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
Tp _T mabs(_T a){ return a>0?a:-a; }
Tp _T mmax(_T a,_T b){ return a>b?a:b; }
Tp _T mmin(_T a,_T b){ return a<b?a:b; }
Tp void mswap(_T &a,_T &b){ _T tmp=a; a=b; b=tmp; return; }
Tp void print(_T x){ if(x<0) pc('-'),x=-x; if(x>9) print(x/10); pc((x%10)+48); return; }
#define EPS (1e-7)
#define INF (0x7fffffff)
#define LL_INF (0x7fffffffffffffff)
#define maxn 1000039
#define maxm 
#define MOD 1000007
#define Type long long
#ifndef ONLINE_JUDGE
//#define debug
#endif
using namespace std;
Type read(){
	char c=gc(); Type s=0; int flag=0;
	while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=gc(); if(c=='-') c=gc(),flag=1;
	while('0'<=c&&c<='9'){ s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48); c=gc(); }
	if(flag) return -s; return s;
}
struct JTZ{ int flag,x,s; } data[maxn];
void ins(int x,int y){
	int pos=x%MOD; while(1){
		if(!data[pos].flag){ data[pos].flag=1,data[pos].x=x,data[pos].s=y; return; }
		else if(data[pos].x==x){ data[pos].s=mmin(data[pos].s,y); return; }
		pos++; if(pos>=MOD) pos%=MOD;
	} return;
}
int find(int x){
	int pos=x%MOD; while(1){
		if(!data[pos].flag) return -1;
		else if(data[pos].x==x) return data[pos].s;
		pos++; if(pos>=MOD) pos%=MOD;
	} return -1;
}
ll fastpow(ll x,ll y,ll p){
	ll res=1,tmp=x;
	while(y){
		if(y&1) res=res*tmp%p;
		y>>=1; tmp=tmp*tmp%p;
	} return res;
}
ll a,b,p,sp,res,tmp,ans;
int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	p=read(); a=read(); b=read(); sp=(ll)ceil(sqrt(p)); res=1; tmp=fastpow(a,sp,p); int i;
	res=1; for(i=0;i<=sp;i++) ins(b*res%p,i),res=res*a%p;
	res=1; tmp=fastpow(a,sp,p); for(i=1;i<=sp;i++){
		res=res*tmp%p; ans=find(res);
		if(ans!=-1){ print(i*sp-ans); return 0; }
	} puts("no solution"); return 0;
}