舞蹈链（DLX）精确覆盖问题

DLX 是 NOIWC2022 讲的一个算法，然后我一直咕咕咕到了现在。

板子题

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题目大意：
给定一个 01 矩阵，在这个矩阵中选出若干行，使得在选出的行中，每一列恰好有 $1$ 个 $1$。
矩阵行列 $N,M$ 范围为 $N,M\le 500$，矩阵中 $1$ 的个数 $\le 5000$。

题目解析

其实这就是精确覆盖问题。
精确覆盖的定义是：一个全集 $S$ 有若干个子集 $S_1,S_2,\dots,S_n$，选取其中若干个子集，使得这些集合中出现了 $S$ 中每个元素各一次。
考虑建模成一个矩阵：设 $S=\{a_1,a_2,\dots,a_m\}$每一行代表一个子集，如果这个子集 $S_i$ 中存在原始 $a_j$，那么第 $i$ 行 $j$ 列就为 $1$，否则为 $0$。这样就转化成了前面的板子题。

算法解析

假设 $N,M$ 同阶。
首先考虑搜索，枚举每一行是否出现，算法复杂度为 $O\left(2^NN\right)$，显然会超时。
考虑剪枝，我们发现如果选了第 $i$ 行，并且这一行中的第 $j$ 列为 $1$，那么第 $j$ 列为 $1$ 的所有行都可以不考虑。
这样就可以大致给出算法的主要框架：

1. 如果矩阵为空，就找到了答案；如果矩阵有一列全是 $0$，那么就说明当前找到的解是错的，返回。
2. 找到 $1$ 的个数最少的一列 $c$，并且删除这一列。（这样可以再下一步的枚举中枚举次数尽可能少）
3. 枚举第 $c$ 列中第 $i$ 行，把第 $i$ 行计入答案。
4. 对与每一个第 $i$ 行，删除第 $i$ 行，然后把第 $i$ 行中为 $1$ 的列全部删除。
5. 递归求解新的矩阵。
6. 如果有解就返回并且输出结果，否则第 $4$ 步恢复删除的行，并且从答案中删除 $i$，回到第 $3$ 步。
7. 如果都没有解，恢复第 $c$ 列，返回。
   我们发现，在删除的时候我们可以通过 十字双向循环链表 来做到比较快速和方便的删除。

DLX 的算法复杂度和矩阵中 $1$ 的个数有关，假设 $1$ 的个数为 $n$，那么算法复杂度为 $O\left(c^n\right)$，其中 $c$ 为一个略大于 $1$ 的常数。

具体代码实现注意：

1. 数组 l,r,u,p,s,row,col 分别代表 左边的点、右边的点、上方的点、下方的点、这一列 $1$ 的个数、这个点所在的行、这个点所在的列。
2. 注意十字链表的数组大小要考虑加上链表头的点。

代码：

#include<cstdio>
#define db double
#define gc getchar
#define pc putchar
#define U unsigned
#define ll long long
#define ld long double
#define ull unsigned long long
#define Tp template<typename _T>
#define Me(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
Tp _T mabs(_T a){ return a>0?a:-a; }
Tp _T mmax(_T a,_T b){ return a>b?a:b; }
Tp _T mmin(_T a,_T b){ return a<b?a:b; }
Tp void mswap(_T &a,_T &b){ _T tmp=a; a=b; b=tmp; return; }
Tp void print(_T x){ if(x<0) pc('-'),x=-x; if(x>9) print(x/10); pc((x%10)+48); return; }
#define EPS (1e-7)
#define INF (0x7fffffff)
#define LL_INF (0x7fffffffffffffff)
#define maxn 5539
#define maxm 539
#define MOD
#define Type int
#ifndef ONLINE_JUDGE
//#define debug
#endif
using namespace std;
Type read(){
	char c=gc(); Type s=0; int flag=0;
	while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=gc(); if(c=='-') c=gc(),flag=1;
	while('0'<=c&&c<='9'){ s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48); c=gc(); }
	if(flag) return -s; return s;
}
int n,m,x,ans[maxn],anscnt;
int s[maxm],l[maxn],r[maxn],u[maxn],d[maxn],row[maxn],col[maxn],head,cnt,findans;
void build(){
	n=read(); m=read(); int i,j,beg,end; head=findans=0;
	for(i=0;i<=m;i++) s[i]=0,l[i]=i-1,r[i]=i+1,u[i]=d[i]=i; l[0]=m; r[m]=0; cnt=m;
	for(i=1;i<=n;i++){
		beg=end=cnt+1;
		for(j=1;j<=m;j++){
			x=read(); if(!x) continue;
			l[++cnt]=end,r[cnt]=beg,l[beg]=cnt,r[end]=cnt,end=cnt; s[j]++;
			d[u[j]]=cnt,u[cnt]=u[j],d[cnt]=j,u[j]=cnt; row[cnt]=i,col[cnt]=j;
		}
	}
}
void del(int x){
	l[r[x]]=l[x],r[l[x]]=r[x]; int i,j;
	for(i=d[x];i!=x;i=d[i]) for(j=r[i];j!=i;j=r[j]) u[d[j]]=u[j],d[u[j]]=d[j],s[col[j]]--;
	return;
}
void rem(int x){
	l[r[x]]=r[l[x]]=x; int i,j;
	for(i=u[x];i!=x;i=u[i]) for(j=l[i];j!=i;j=l[j]) u[d[j]]=d[u[j]]=j,s[col[j]]++;
	return;
}
void dance(){
	if(r[head]==head){ findans=1; return; } int minx=INF,miny,i,j;
	for(i=r[head];i!=head;i=r[i]){
		if(!s[i]) return;
		if(s[i]<minx) minx=s[i],miny=i;
	} del(miny);
	for(i=d[miny];i!=miny;i=d[i]){
		ans[++anscnt]=row[i];
		for(j=r[i];j!=i;j=r[j]) del(col[j]);
		dance(); if(findans) return; anscnt--;
		for(j=l[i];j!=i;j=l[j]) rem(col[j]);
	} rem(miny); return;
}
void print(){
	if(!findans){ puts("No Solution!"); return; }
	int i; for(i=1;i<=anscnt;i++) print(ans[i]),pc(' '); return;
}
int main(){
	//freopen("1.in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	build(); dance(); print(); return 0;
}