Luogu P4550 收集邮票 题解
题目大意
有 \(n\) 种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是 \(n\) 种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为 \(\frac{1}{n}\)。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第 \(k\) 次邮票需要支付 \(k\) 元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。
数据范围： \(n\le 10000\)
题目解析
根据概率题的套路，我们需要设 已经……还需要……的期望。
我们设 \(g_i\) 为已经买了 \(i\) 张不同的邮票时，需要买到所有种类的邮票的期望钱数。
但是我们发现这样还是不能做，因为我们需要知道这是期望的次数。
于是我们设 \(f_i\) 为已经买了 \(i\) 张不同的邮票是，需要买到所有种类的邮票的期望钱数。
首先我们需要得到 \(f_i\)。
分两种情况讨论：取到新的种类的邮票和没有取到新种类邮票。
如果取到新的种类，概率为 \(\frac{n-i}{n}\)，期望次数为 \(f_{i+1}\)；如果没有取到，概率为 \(\frac{i}{n}\)，概率为 \(f_i\)，当然取了一次还要加上 \(1\)。
即 $$f_i=\frac{n-i}{n}\times f_{i+1}+\frac{i}{n}\times f_i+1$$
化简得 $$f_i=f_{i+1}+\frac{n}{n-1}$$
然后考虑求 \(g_i\)。
显然还是分上面两种情况讨论。
如果取到新的种类，概率为 \(\frac{n-i}{n}\)，那么这一次需要用的钱数为 \(f_{i+1}+1\)，接下来钱数的期望是 \(g_{i+1}\)。
如果没有取到新的种类，概率为 \(\frac{i}{n}\)，这一次用的钱数为 \(f_i+1\)，接下来用的钱数的期望还是 \(g_i\)。
即 $$g_i=\frac{n-i}{n}\times\left(g_{i+1}+f_{i+1}+1\right)+\frac{i}{n}\times\left(g_i+f_i+1\right)$$
化简得 $$g_i=\frac{i}{n-i}\times \left(f_i+1\right)+g_{i+1}+f_{i+1}+1$$
代码非常简单：
int n; double f[10039],g[10039];
scanf("%d,&n"); int i; f[n]=g[n]=0;
for(i=n-1;i>=0;i--) f[i]=f[i+1]+1.0*n/(n-i),g[i]=1.0*i/(n-i)*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
printf("%0.2lf",g[0]); return 0;
