Luogu P4550 收集邮票 题解

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题目大意

有 $n$ 种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是 $n$ 种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为 $\frac{1}{n}$。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第 $k$ 次邮票需要支付 $k$ 元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。
数据范围： $n\le 10000$

题目解析

根据概率题的套路，我们需要设 已经……还需要……的期望。
我们设 $g_i$ 为已经买了 $i$ 张不同的邮票时，需要买到所有种类的邮票的期望钱数。
但是我们发现这样还是不能做，因为我们需要知道这是期望的次数。
于是我们设 $f_i$ 为已经买了 $i$ 张不同的邮票是，需要买到所有种类的邮票的期望钱数。

首先我们需要得到 $f_i$。
分两种情况讨论：取到新的种类的邮票和没有取到新种类邮票。
如果取到新的种类，概率为 $\frac{n-i}{n}$，期望次数为 $f_{i+1}$；如果没有取到，概率为 $\frac{i}{n}$，概率为 $f_i$，当然取了一次还要加上 $1$。
即 $$f_i=\frac{n-i}{n}\times f_{i+1}+\frac{i}{n}\times f_i+1$$
化简得 $$f_i=f_{i+1}+\frac{n}{n-1}$$

然后考虑求 $g_i$。
显然还是分上面两种情况讨论。
如果取到新的种类，概率为 $\frac{n-i}{n}$，那么这一次需要用的钱数为 $f_{i+1}+1$，接下来钱数的期望是 $g_{i+1}$。
如果没有取到新的种类，概率为 $\frac{i}{n}$，这一次用的钱数为 $f_i+1$，接下来用的钱数的期望还是 $g_i$。
即 $$g_i=\frac{n-i}{n}\times\left(g_{i+1}+f_{i+1}+1\right)+\frac{i}{n}\times\left(g_i+f_i+1\right)$$
化简得 $$g_i=\frac{i}{n-i}\times \left(f_i+1\right)+g_{i+1}+f_{i+1}+1$$

代码非常简单：

int n; double f[10039],g[10039];
scanf("%d,&n"); int i; f[n]=g[n]=0;
for(i=n-1;i>=0;i--) f[i]=f[i+1]+1.0*n/(n-i),g[i]=1.0*i/(n-i)*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
printf("%0.2lf",g[0]); return 0;