LuoguP1635 WJMZBMR打osu! / Easy 题解

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题目大意

给定一个包含 o 和 x 的序列，有些位置是不确定的，用 ? 表示（$50\%$ 的概率为 x $50\%$ 概率为 o）。
连续长度的为 $a$ 的 o 可以获得收益 $a^2$。
现在要求收益的期望值。

题目解析

假设这个序列为 $\{a_n\}$。
首先不考虑求期望值，也就是说这个序列式给定的。
设 $\operatorname{f}(i)$ 为前 $i$ 个的收益，$\operatorname{g}(i)$ 为第 $i$ 个往前有多少个连续的 o。
不难得到：

$$\operatorname{f}(i)=\left\{ \begin{aligned} \operatorname{f}(i-1) & & a_i=\text{x}\\ \operatorname{f}(i-1)+2\times\operatorname{g}(x-1)+1 & & a_i=\text{o}\\ \end{aligned} \right.$$

然后我们考虑 $a_i=\text{?}$ 的时候，就是两者的平均数，显然

$$E\left(\operatorname{f}(i)\right)=E\left(\operatorname{f}(i-1)\right) + E\left(\operatorname{g}(i-1)\right) +0.5$$

考虑求出 $E\left(\operatorname{g}\right(i)$，不难发现

$$E\left(\operatorname{g}(i)\right)=\left\{ \begin{aligned} 0 & & a_i=\text{x}\\ E\left(\operatorname{g}(i-1)\right)+1 & & a_i=\text{o}\\ 0.5*\left(E\left(\operatorname{g}(i-1)\right)+1\right) & & a_i=\text{?} \end{aligned} \right.$$

然后就结束了。

总结：先不要管期望，可能需要设一些函数，当然需要考虑期望的线性
代码：

#include<cstdio>
#define db double
#define gc getchar
#define pc putchar
#define U unsigned
#define ll long long
#define ld long double
#define ull unsigned long long
#define Tp template<typename _T>
#define Me(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
Tp _T mabs(_T a){ return a>0?a:-a; }
Tp _T mmax(_T a,_T b){ return a>b?a:b; }
Tp _T mmin(_T a,_T b){ return a<b?a:b; }
Tp void mswap(_T &a,_T &b){ _T tmp=a; a=b; b=tmp; return; }
Tp void print(_T x){ if(x<0) pc('-'),x=-x; if(x>9) print(x/10); pc((x%10)+48); return; }
#define EPS (1e-7)
#define INF (0x7fffffff)
#define LL_INF (0x7fffffffffffffff)
#define maxn 300039
#define maxm
#define MOD
#define Type int
#ifndef ONLINE_JUDGE
//#define debug
#endif
using namespace std;
Type read(){
	char c=gc(); Type s=0; int flag=0;
	while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=gc(); if(c=='-') c=gc(),flag=1;
	while('0'<=c&&c<='9'){ s=(s<<1)+(s<<3)+(c^48); c=gc(); }
	if(flag) return -s; return s;
}
char s[maxn];
int n;
db f[maxn],g[maxn];
int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	n=read(); scanf("%s",s+1); int i;
	for(i=1;i<=n;i++){
		switch(s[i]){
			case 'x': f[i]=f[i-1],g[i]=0; break;
			case 'o': f[i]=f[i-1]+2*g[i-1]+1,g[i]=g[i-1]+1; break;
			case '?': f[i]=f[i-1]+g[i-1]+0.5,g[i]=0.5*(g[i-1]+1); break;
		}
	} printf("%0.4lf",f[n]);
	return 0;
}