笛卡尔树 学习笔记

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• 定义
• 构建

定义

笛卡尔树是一种树，每个节点有两个权值 \(\left(x_i,y_i\right)\)。如果单看 \(x_i\)，它是一棵二叉搜索树（BST）；如果单看 \(y_i\)，它是个小根堆（Heap）。
其实 Treap 就是一种笛卡尔树，只不过 \(y_i\) 是随机赋值的。

构建

板子题
首先按照 \((x_i)\) 升序排序（这题不需要）。
接下来就是一个一个插入了。我们发现要插入的点全部在右链（即从根结点一直往右子树走，经过的结点形成的链）上，所以我们需要维护右链上的节点。
我们发现右链上的点最多进出一次（或者说每个点在右链中存在的是一段连续的时间），所以我们就可以用栈维护右链上的节点，复杂度为 \(\Theta\left(n\right)\)。

代码如下：

#include<cstdio>
#define maxn 10000039
using namespace std;
int n,p[maxn];
struct JTZ{ int ls,rs; }a[maxn];
int s[maxn],top,k; ll ansl,ansr;
int main(){
	scanf("%d",&n); register int i; top=0; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]);
	for(i=1;i<=n;i++){
		k=top; while(top&&p[s[k]]>p[i]) k--;
		if(k) a[s[k]].rs=i;
		if(k<top) a[i].ls=s[k+1];
		s[++k]=i; top=k;
	} ansl=ansr=0;
	for(i=1;i<=n;i++) ansl^=1ll*i*(a[i].ls+1),ansr^=1ll*i*(a[i].rs+1);
	printf("%lld %lld",ansl,ansr);
	return 0;
}