二分图最大匹配 学习笔记
定义
二分图
二分图，又称二部图，英文名叫 Bipartite graph。
二分图是什么？节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。
——OI Wiki
显然我们发现，如果有一个二分图，我们可以把顶点染成两种颜色，存在一种方案使每一条边的两个顶点的颜色不同。
二分图有什么性质呢？显然我们发现二分图不存在长度为奇数的环。我们可以通过这一性质来检验一个图是否是二分图。
图匹配
假设图 \(\operatorname{G}=(\operatorname{V},\operatorname{E})\) ，其中 \(\operatorname{V}\) 是点集，\(\operatorname{E}\) 是边集。
一组两两没有公共点的边集 \(\operatorname{M}\) 称为这张图的匹配。
定义匹配的大小为其中边的数量 ，其中边数最大的为最大匹配。
当图中的边带权的时候，边权和最大的为最大权匹配。
- 无法再增加边的匹配称为 maximal matching ，它不一定是最大匹配。
- 匹配边数最多的称为 maximum matching （最大匹配）。
- 所有点都属于匹配称为 perfect matching （完美匹配），同时也符合最大匹配。
- 发生在图的点数为奇数，刚好只有一个点不在匹配中，称为near-perfect matching（近完美匹配），扣掉此点以后的图称为 factor-critical graph。
算法解析
二分图最大匹配，顾名思义，就是求二分图中最大匹配的边数。我们可以通过网络流建模来解决这个问题。
为了方便叙述，我们把这个图分为两个点集 \(\operatorname{A}\) 和 \(\operatorname{B}\) ，每个点集内无边
- 我们建立一个超级源和超级汇，将超级源联向集合 \(\operatorname{A}\) 中所有点，容量为 \(1\) ，将集合 \(\operatorname{B}\) 的点全部连向超级汇，容量为 \(1\) 。
- 将图中的边都设为由点集 \(\operatorname{A}\) 到点集 \(\operatorname{B}\) ，容量为 \(1\) 。
- 求源点到汇点的最大流，即为答案。
算法复杂度分析：如果使用Dinic，不难发现最多增广 \(\sqrt{N}\) 次，每次增广复杂度为 \(O(M)\) ，复杂度为 \(O(\sqrt{N}M)\) 。
其中 \(N\) 为点数 \(M\) 为边数。
详细证明如下（ from OI Wiki）
Update on 2021.8.17
更改了代码，（原来写假了）。
更改的地方：在 dfs 函数增加了 if(!sum) break; 这句话。
代码：
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 10039
#define maxm 200039
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
//#define debug
typedef int Type;
inline Type read(){
Type sum=0;
int flag=0;
char c=getchar();
while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=getchar();
if(c=='-') c=getchar(),flag=1;
while('0'<=c&&c<='9'){
sum=(sum<<1)+(sum<<3)+(c^48);
c=getchar();
}
if(flag) return -sum;
return sum;
}
int n,m,e,s,t,u,v,w;
int head[maxn],to[maxm],nex[maxm],c[maxm],kkk=1,now[maxn];
#define add(x,y,z) to[++kkk]=y;\
nex[kkk]=head[x];\
now[x]=head[x]=kkk;\
c[kkk]=z;
int dep[maxn];
queue<int> q,E;
int bfs(){
memset(dep,0,sizeof(dep));
for(int i=1;i<=n+m+2;i++) now[i]=head[i];
q=E; q.push(s); dep[s]=1;
while(!q.empty()){
int cur=q.front(); q.pop();
for(int i=head[cur];i;i=nex[i])
if(!dep[to[i]]&&c[i]>0){
dep[to[i]]=dep[cur]+1;
if(to[i]==t)
return 1;
q.push(to[i]);
}
}
return 0;
}
int dfs(int x,int sum){
if(x==t) return sum;
int res=0,tmp;
for(int i=now[x];i&&sum>0;i=nex[i]){
now[x]=i;
if(dep[x]+1==dep[to[i]]&&c[i]>0){
tmp=dfs( to[i],min(c[i],sum) );
if(tmp==0) dep[to[i]]=0;
c[i]-=tmp; c[i^1]+=tmp; sum-=tmp; res+=tmp;
}
if(!sum) break;
}
return res;
}
int ans=0;
int main(){
//freopen("P3386_8.in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
n=read(); m=read(); e=read();
for(int i=1;i<=e;i++){
u=read(); v=read();
add(u,n+v,1); add(n+v,u,0);
}
s=n+m+1; t=n+m+2;
for(int i=1;i<=n;i++){
add(s,i,1); add(i,s,0);
}
for(int i=n+1;i<=n+m;i++){
add(i,t,1); add(t,i,0);
}
while(bfs())
ans+=dfs(s,0x7fffffff);
printf("%d",ans);
return 0;
}
