逆元 学习笔记

目录

• 定义&&作用
• 求逆元
  • 快速幂
  • exgcd
• 线性求逆元
• 阶乘逆元线性求

定义&&作用

如果 $ax\equiv 1 \pmod b$ 并且 $\gcd(a,b)=1$ 那么我们称 $x$ 为 $a \bmod b$ 的逆元，记做 $a^{-1}$ 或者是 $\frac{1}{a}$ 。
这样我们就可以求出任意实数 $\frac{a}{b}$ 在模 $p$ 意义下的值了（通常 $p$ 是质数）。

求逆元

这里求的是在模 $p$ 意义下的 $a^{-1}$ 的值。

快速幂

不难得出 $x=a^{p-2}\bmod p$ 用快速幂做即可，复杂度 $O\left(\log_2p\right)$
证明如下：
法一：费马小定理
因为 $p$ 是素数并且 $\gcd(a,p)=1$
所以 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$
所以 $a\times a^{p-2} \equiv 1 \pmod p$
所以 $x=a^{p-2}\bmod p.$
法二：欧拉定理
因为 $\gcd(a,p)=1$
所以 $a^{\varphi(p)}\equiv 1 \pmod p$
因为 $p$ 是素数，所以 $\varphi(p)=p-1$
所以 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$
所以 $a\times a^{p-2} \equiv 1 \pmod p$
所以 $x=a^{p-2}\bmod p.$

int pow(int x,int y){
    ll res=1,tmp=x;
    while(y>0){
    	if(y&1) res=res*tmp%p;
    	tmp=tmp*tmp%p;
    	y>>=1;
	}
	return res%p;
}
int js(int a,int p){// a^-1%p
    return pow(a,p-2);
}

exgcd

根据定义 $ax\equiv 1 \pmod p$ 并且 $\gcd(a,p)=1$
我们发现满足 $ax+py=gcd(a,p)=1$
exgcd即可，不会的点这里

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){ x=1; y=0; return; }
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y; y=t-a/b*y;
	return;
}
int js(int a,int p){//a^-1%p
	int x,y;
	exgcd(a,p,x,y);
	return (x%p+p)%p;
}

线性求逆元

题目传送门
题目大意：给定 $n,p$ 求 $1\sim n$ 中所有整数在模 $p$ 意义下的乘法逆元。
显然直接一个一个求是不可能的，这里介绍如何线性求（算法复杂度 $O\left(n\right)$ ）。
首先 $1^{-1}\equiv 1 \pmod p$
我们设 $p=aq+r,0\leq r<a$
那么 $q=\lfloor \frac{p}{a} \rfloor,r= p\bmod a$ 并且 $aq+r \equiv 0 \pmod p$
移项，得 $r\equiv -aq \pmod p$
等式两边同时乘上 $r^{-1}a^{-1}$ ， 得到 $a^{-1} \equiv q\times r^{-1} \pmod p$
所以 $a^{-1} \equiv -\lfloor \frac{p}{a} \rfloor \times ({p \bmod a}) \pmod p$
开个数组 $inv_i$ 代表 $i^{-1}$ 即可。

int inv[maxn];//inv[i]->i^-1(mod p)
void solve(){
	inv[0]=0; inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)//long long
		inv[i]=(ll)(p-p/i)*(ll)inv[p%i]%p;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d\n",inv[i]);
}

阶乘逆元线性求

显然我们发现 $\frac{1}{a!} \equiv \frac{a+1}{\left(a+1\right)!} \pmod p$
所以 $a!^{-1} \equiv \left(a+1\right)!^{-1}\times \left(i+1\right) \pmod p$
我们只要求出 $n!^{-1}$ 就可以求出 $1!^{-1},2!^{-1},\dots,\left( n-1\right)!^{-1}$ 了。
算法复杂度 $O\left(n\right)$

END.