欧几里得算法 学习笔记

目录

• 前言
• 算法简介
• 求最大公约数(gcd)
• 求二元一次不定方程的整数解(exgcd)
• 应用

前言

本博客中所有的 有解 均指 有整数解。
所有数如果不说明值域都是整数。

算法简介

为什么叫欧几里得算法呢？当然是欧几里得发明了啦
他能干什么呢？

1. 求一个两个数字的最大公约数
2. 求关于 $x,y$ 的二元一次不定方程 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的整数解

求最大公约数(gcd)

最大公约数即为 $\operatorname{Greatest Common Divisor}$，常缩写为 $\gcd$ 。
一组数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。而最大公约数，则是指所有公约数里面最大的一个。
我们一般用 $\gcd(a,b)$ 或者 $(a,b)$ 来表示两个数字的最大公约数。
我们一般用 $\operatorname{lcm}(a,b)$ 或者 $[a,b]$ 来表示两个数字的最小公倍数(Least Common Multiple, LCM)。

显然 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$
证明如下：
设 $a=bq+r$ 并且 $0\le r<b$，显然 $r=a \bmod b$，
设 $d\mid a$ 且 $d\mid b$，$d$ 就是 $a,b$ 的公约数，
由 $a=bq+r$ 得 $\dfrac{a}{d}=q\times\dfrac{b}{d}+\dfrac{r}{d}$，
也就是 $\dfrac{r}{d}=\dfrac{a}{d}-q\times\dfrac{b}{d}$
因为 $d\mid a,d\mid b$，所以 $\dfrac{a}{d},q\times \dfrac{b}{d}$ 都是整数，
所以 $\dfrac{r}{d}$ 也是整数，$d$ 也是 $b,a \bmod b$ 的公约数，
同理我们也可以设 $e\mid b$ 且 $e\mid a \bmod b$，
同理可以证明 $e$ 也是 $a,b$ 的公约数。
换句话说， $a,b$ 的公约数都是 $b,a \bmod b$ 的公约数，$b,a \bmod b$ 的公约数也都是 $a,b$ 的公约数，
也就是说 $a,b$ 和 $b,a \bmod b$ 的公约数都相同，那么它们的最大公约数也都相等，也就是 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$
代码

int gcd(int x,int y){
	if(x%y==0) return y;
	return gcd(x%y,y);
}

从递归式不难得出复杂度为 $O\left(\log_2\max(a,b)\right)$ ,并且当 $a,b$ 为斐波那契数列的相邻两项的时候，算法复杂度最坏。
这种做法又称为辗转相除法。

同时我们也发现以下几个结论（这些结论证明显然，这里就不写证明过程了）：

1. $\gcd(a,b,c)=\gcd\left(\gcd\left(a,b\right),c\right)$
2. $\operatorname{lcm}(a,b)\times\gcd(a,b)=a\times b$
3. $\operatorname{lcm}\left(a,b,c\right)= \operatorname{lcm}\left( \operatorname{lcm}\left(a,b\right) , c \right)$
   这样我们就可以求出多个数的最大公约数以及单个数、多个数的最小公倍数了。

求二元一次不定方程的整数解(exgcd)

根据裴蜀定理，我们知道,关于 $x,y$ 的二元一次不定方程 $ax+by=\gcd(a,b)$ 有整数解。
证明略，我不会你自己看。
我们可以模仿计算最大公约数的方法来解这个方程。

假设有一个方程 $ax_0+by_0=\gcd(a,b)$
我们通过一次辗转相除，得到 $bx_1+(a \bmod b)y_1=\gcd(a,b)$
两式相减，得： $ax_0+by_0-bx_1-(a \bmod b)y_1=0$
又因为 $a\bmod b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b$
所以 $ax_0+by_0-bx_1-\left(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\right)\times by_1=0$
展开得 $ax_0+by_0-bx_1-ay_1+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_1=0$
化简得 $a\left(x_0-y_1\right)+by_0-bx_1+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_1=0$
即 $x_0=y_1,y_0=x_1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y_1$
递归边界就是 $b=0$ ,此时返回 $x=1,y=0$ 即可。
代码：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){ x=1; y=0; return; }
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-(a/b)*y;
	return;
}

根据得到的两个解 $x=x_0,y=y_0$ ，我们就可以得到这个方程的所有整数解：

$$x=x_0+\frac{kb}{\gcd(a,b)}$$

$$y=y_0-\frac{ka}{\gcd(a,b)}$$

显然这里的 $k$ 是整数。

那么对于任意关于 $x,y$ 方程 $ax+by=c$ 该怎么解呢？
首先通过裴蜀定理判断它有没有解，如果有解那么肯定 $\gcd(a,b)|c$ ，不妨设 $c=n\gcd(a,b)$
我们先解方程 $ax+by=gcd(a,b)$ ，得到一个解 $x=x_0,y=y_0$
不难发现原方程也有一个解 $x=nx_0,y=ny_0$
解即为

$$x=nx_0+\frac{kb}{\gcd(a,b)}$$

$$y=ny_0-\frac{ka}{\gcd(a,b)}$$

复杂度和前面的一样，是 $O\left(\log_2\max(a,b)\right)$.

应用

gcd除了求两个数字的最大公约数以外貌似我不知道其他功能，但是exgcd的功能非常强大。
这里只写我知道的吧...

1. 求线性同余方程，因为 $ax+by=c$ 等价于 $ax\equiv c \pmod b$ ，这样可以得出在正整数范围内的 $x$ 的最小值。
2. 求逆元，因为 $ax+by=1$ 等价于 $ax\equiv 1 \pmod b$ ，由于存在逆元 $a^{-1}\bmod b$ 所以 $\gcd(a,b)=1$ ，也就是 $ax+by=\gcd(a,b)$ 。
3. exCRT会用到。