数位DP 学习笔记

目录

• 板子题
• 算法解析
• 题目解析
• 代码
• 推荐练习

板子题

出处
escription
蒟蒻hzwer NOIP2014惨跪，他依稀记得他的准考证号是37，现在hzwer又将要面临一场比赛，他希望准考证号不出现37（连续），同时他又十分讨厌4，所以也不希望4出现在准考证号中。。。现在他想知道在A和B之间有多少合法的准考证号
Input
包含两个整数，A B
Output
一个整数。
Sample Input
「输入样例一」

1 10

「输入样例二」

25 50

Sample Output
「输出样例一」

9

「输出样例二」

14

「数据规模和约定」
$20\%$ 的数据，满足 $1 \le A \le B \le 1000000$ 。
$100\%$ 的数据，满足 $1 \le A \le B \le 2000000000$ 。

算法解析

因为不要求输出路径，而且不能贪心，那么考虑DP。
但是我们发现DP的状态很难设计，这里就要用到数位DP来解决这个问题了。
数位DP把一个数字拆开成若干位，如下图，把每一位当做一个节点，也就是说，把每一位当做一个独立的节点，然后设计方程式。一般方程状态是位数和当前位的状态。

数位DP一般有两种计算方法，一种是记忆化搜索（递归），另一种是递推。因为一般给出条件的时候不是位数，而是具体的一个数字。
我们发现，如果要用记搜的话，就要从高到低进行扫描；递推则从低到高。

题目解析

令 $\def\foo{\operatorname{f}} \foo(x,y,op)$ 表示从高到低第 $x$ 位，前一位为 $y$ ，如果 $op=1$ 则之前的数字取的是最大值，否则不是的答案。
递推式显然。
算法复杂度为 $\Theta\left(10N\right)$ ，$N$ 为位数， $10$ 就是指总共每位有 $10$ 个数字。

代码

（此代码防抄袭）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 39
using namespace std;
#define debug
typedef int Type;
inline Type read(){
	Type sum=0;
	int flag=0;
	char c=getchar();
	while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=getchar();
	if(c=='-') c=getchar(),flag=1;
	while('0'<=c&&c<='9'){
		sum=(sum<<1)+(sum<<3)+(c^48);
		c=getchar();
	}
	if(flag) return -sum;
	return sum;
}
int from,to;
int tmp[maxn],n;
int dp[maxn][maxn][2];
void swap(int &x,int &y){ x^=y^=x^=y; }
int f(int x,int y,int op){
	if(dp[x][y][op]) return dp[x][y][op];
	if(x==n+1) return dp[x][y][op]=1;
	int cnt=0;
	if(op){
		for(int i=0;i<=tmp[x]-1;i++)
		    if(i!=4&&(y!=3||i!=7))
		        cnt+=f(x+1,i,0);
		if(tmp[x]!=4&&(y!=3||tmp[x]!=7))
		    cnt+=f(x+1,tmp[x],1);
	}
	else{
		for(int i=0;i<=9;i++)
		    if(i!=4&&(y!=3||i!=7))
		        cnt+=f(x+1,i,0);
	}
	return dp[x][y][op]=cnt;
}
int getans(int x){
	n=0;
	while(x){
		tmp[++n]=x%10;
		x/=10;
	}
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=(n>>1);i++)
	    swap(tmp[i],tmp[n-i+1]);
	return f(1,tmp[1],1);
}
int main(){
	freopen("1.in","r",stdin);
	freopen("my.out","w",stdout);
	#ifdef debug
	to=read(); printf("%d",getans(to));
	#else
	from=read(); to=read();
	printf("%d",getans(to)-getans(from-1));
	#endif
	return 0;
}
 

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