第K大的数 题解

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题面

题目描述
数组A和数组B，里面都有n个整数。
数组C共有n^2个整数，分别是：
\(A[0] \times B[0],A[0] \times B[1] \dots A[0] \times B[n-1]\)
\(A[1] \times B[0],A[1] \times B[1] \dots A[1] \times B[n-1]\)
\(\dots\)
\(A[n - 1] \times B[0],A[n - 1] \times B[1]\dots A[n - 1] \times B[n - 1]\)
是数组A同数组B的组合,求数组C中第K大的数。
例如：
\(A：1\ 2\ 3,B：2\ 3\ 4.\)
\(A\) 与 \(B\) 组合成的 \(C\) 为

	B[0]	B[1]	B[2]
A[0]	2	4	6
A[1]	3	6	9
A[2]	4	8	12

共 \(9\)个数。
输入
第1行：2个数N和K，中间用空格分隔。N为数组的长度，K对应第K大的数。( \(2 \le N \le 50000，1 \le K \le 10^9\) )
第2 - N + 1行：每行2个数，分别是 \(A[i]\) 和 \(B[i]\) 。( \(1 \le A[i],B[i] \le 10^9\))
输出
输出第K大的数。
样例输入
3 2
1 2
2 3
3 4
样例输出
9

解析

不难想到暴力做法，枚举所有的结果，时间复杂度 \(\Theta\left(N^2\log_2 N^2\right)\) 空间复杂度 \(\Theta\left(N^2\right)\) 明显TLE+MLE。
我们发现，答案满足单调性，我们二分答案。
那么 check(x) 就是查找 \(C\) 中比 \(x\) 大的数字个数。
然后考虑 check(x) 函数的设计，一个一个枚举也可以，但是，我们发现，对于每个 \(a_k\) ，我们又可以进行一次二分查找来找到比 \(x\) 大的值中最小的一个，然后进行计算得到结果。
代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 50039
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long Type;
inline Type read(){
	Type sum=0;
	int flag=0;
	char c=getchar();
	while((c<'0'||c>'9')&&c!='-') c=getchar();
	if(c=='-') c=getchar(),flag=1;
	while('0'<=c&&c<='9'){
		sum=(sum<<1)+(sum<<3)+(c^48);
		c=getchar();
	}
	if(flag) return -sum;
	return sum;
}
ll a[maxn],b[maxn];
int n,k;
int find(ll x){
	int sum=0;
	int left,right,middle;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		left=0,right=n+1;
		while(left+1<right){
			middle=(left+right)>>1;
			if(a[i]*b[middle]>=x) left=middle;
			else right=middle;
		}
		sum+=left;
	}
	//printf("%lld %d\n",x,sum);
	return sum;
}
int cmp(ll xx,ll yy){
	return xx>yy;
}
ll l,r,mid;
int main(){
    n=read(); k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	a[i]=read();
    	b[i]=read();
	}
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	sort(b+1,b+n+1,cmp);
	l=0,r=a[1]*b[1]+1;
	while(l+1<r){
		mid=(l+r)/2;
		if(find(mid)>=k) l=mid;
		else r=mid;
	}
	printf("%lld",l);
	return 0;
}

提示

如果你没有AC，注意一下几点：

1. 除法带来的精度问题
2. 十年OI一场空，不开long long见祖宗