填坑行动10-gcd以及exgcd

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• Tips
• gcd
• exgcd
  • • 前置芝士
    • exgcd求逆元

Tips

1. 本文中所有方程有解均为方程有整数解

gcd

令$\gcd\left(a,b\right)$为$a,b$的最大公约数。
那么
$\gcd(a,b)=\\ b,\ a\mod b=0\\ \gcd(b\mod a, b ),\ b\mod a \not= 0$
或者是
$\gcd(a,b)=\\ b,\ a=0\\ \gcd(b\mod a, b ),\ a \not= 0$
算法复杂度$\Theta\left(\log_2\max\left(a,b\right)\right)$

exgcd

前置芝士

关于$x,y$的一个二元一次方程$ax+by=c$
当且仅当$\gcd\left(a,b\right)|c$时，方程有解。
这是裴蜀定理，证明因为不会所以就不讲了

exgcd求逆元

我们有一个方程关于$x,y$的一个二元一次方程$ax+by=c$
要使这个方程有解，则$\gcd\left(a,b\right)|c$。令$c=k\gcd(a,b)$，那么设一个关于$x_0,y_0$的方程$a_0x_0+b_0y_0=\gcd(a_0,b_0)$，那么$x=kx_0,y=ky_0$
设这个方程有一组解$x,y$，就不难得出这组方程的通解：
$x+k(b\div\gcd(a,b)),y-k(a\div\gcd(a,b))$($k$是整数)
只要求出一个解就可以求出所有解了。那么，我们怎么求助一组解呢？用exgcd（逆元）就可以了。

设这个二元一次方程是$a_0x_0+b_0y_0=\gcd(a_0,b_0)$然后通过一次exgcd后成为了$a_1x_1+b_1y_1=\gcd(a_1,b_1)$，其中$a_1=b_0\ ,\ b_1=b_0\mod a_0,\gcd(a_0,b_0)=\gcd(a_1,b_1)$（其实就是进行一次$\gcd$辗转相除）
那么我们就可以得到
$a_0x_0+b_0y_0=a_1x_1+b_1y_1$
进而得到$y_0=x_1,x_0=y_1-\lfloor b_0/a_0\rfloor\times x_1$
当$a_1=0$的时候，令$x_0=0,y_0=1$，这样就可以递归回溯了。