[USACO13MAR]The Cow Run GS 题解

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附原题：

题目描述

Farmer John has forgotten to repair a hole in the fence on his farm, and his N cows (1 <= N <= 1,000) have escaped and gone on a rampage! Each minute a cow is outside the fence, she causes one dollar worth of damage. FJ must visit each cow to install a halter that will calm the cow and stop the damage.

Fortunately, the cows are positioned at distinct locations along a straight line on a road outside the farm. FJ knows the location P_i of each cow i (-500,000 <= P_i <= 500,000, P_i != 0) relative to the gate (position 0) where FJ starts.

FJ moves at one unit of distance per minute and can install a halter instantly. Please determine the order that FJ should visit the cows so he can minimize the total cost of the damage; you should compute the minimum total damage cost in this case.

农夫约翰的牧场围栏上出现了一个洞，有N(1 <= N <= 1,000)只牛从这个洞逃出了牧场。这些出逃的奶牛很狂躁，他们在外面到处搞破坏，每分钟每头牛都会给约翰带来1美元的损失。约翰必须用缰绳套住所有的牛，以停止他们搞破坏。

幸运的是，奶牛们都在牧场外一条笔直的公路上，牧场的大门恰好位于公里的0点处。约翰知道每头牛距离牧场大门的距离P_i(-500,000 <= P_i <= 500,000, P_i != 0)

约翰从农场大门出发，每分钟移动一个单位距离，每到一头牛所在的地点，约翰就会给它套上缰绳，套缰绳不花时间。按怎样的顺序去给牛套缰绳才能使约翰损失的费用最少？

输入格式

• Line 1: The number of cows, N.

• Lines 2..N+1: Line i+1 contains the integer P_i.

输出格式

• Line 1: The minimum total cost of the damage.

输入输出样例

输入 #1

4 
-2 
-12 
3 
7 

输出 #1

50

说明/提示

Four cows placed in positions: -2, -12, 3, and 7.

The optimal visit order is -2, 3, 7, -12. FJ arrives at position -2 in 2 minutes for a total of 2 dollars in damage for that cow.

He then travels to position 3 (distance: 5) where the cumulative damage is 2 + 5 = 7 dollars for that cow.

He spends 4 more minutes to get to 7 at a cost of 7 + 4 = 11 dollars for that cow.

Finally, he spends 19 minutes to go to -12 with a cost of 11 + 19 = 30 dollars.

The total damage is 2 + 7 + 11 + 30 = 50 dollars.

题目解析

先看一眼题目，$N\leq 1000$，$O\left(N^2\right)$ 算法可以过。
我们可以发现，这道题目可以通过贪心或者搜索的方式来做，于是就可以小数据搜索大数据贪心。
$O\left(2^N\right)$搜索肯定不行，保证TLE，那么我们考虑贪心。
贪心方案：向近一点的去，但是我们可以证明这是错的，我们构造一组数据如下：

4
-1 2 3 4

贪心是沿$-1→2→3→4$的道路走，耗费为$1+4+5+6=16$
但是存在一条$2→3→4→-1$的道路，耗费为$5+2+3+4=14$
明显贪心是错误的。

我们发现，这道题貌似可以用贪心，也貌似可以用搜索，并且只要求我们输出答案并且不输出路径，那么这题的正解是什么呢？显然是DP。

如果有一道题，可以用贪心，也可以用搜索，这么这道题目一定是DP。——FLYing

FLYing:我没说过
我谔谔

DP式解析：
我们采用区间DP，首先想到用区间DP，但是我们发现仅仅靠两个维度是不能完成这道题目的，我们令$f_{i,j,k}$来表示状态，$i,j$表示处理的区域的两个端点，$k$表示当前区间处理完成之后的位置，$k=0$代表在左端，$k=1$代表在右端。

代码版本1.0
$f_{i,j,k}$可以通过$f_{i+1,j,k}\ f_{i,j-1,k}$得到
不难推出状态转移式：

$$f_{i,j,0}=\min\left( f_{i+1,j,0}+|a_{i+1}-a_i|,f_{i+1,j,1}+|a_j-a_i|\right)$$

$$f_{i,j,0}=\min\left( f_{i,j-1,0}+|a_j-a_i|,f_{i,j-1,1}+|a_j-a_{j-1}|\right)$$

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[1039];
int f[1039][1039][3];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    f[0][0][0]=f[0][0][1]=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
        for(int j=i;j<=n;j++){
            if(i==j) f[i][j][0]=f[i][j][1]=abs(a[i]);
            else {
                f[i][j][0]=min( f[i+1][j][0]+abs(a[i+1]-a[i]) , f[i+1][j][1]+abs(a[i]-a[j]) );
                f[i][j][1]=min( f[i][j-1][0]+abs(a[j]-a[i])) , f[i][j-1][1]+abs(a[j]-a[j-1]) );
            }
        }
    printf("%d",min(f[1][n][0],f[1][n][1])-1);
    return 0;
}

然而，样例都过不去……

代码版本2.0
我们会发现1.0版本的DP式是错误的，因为我们发现，在前进的过程中，不仅仅只有一头奶牛在破坏。
所以正确的DP式是这样的：

$$f_{i,j,0}=\min\left( f_{i+1,j,0}+\left(n-j+i\right)\times|a_{i+1}-a_i|,f_{i+1,j,1}+\left(n-j+i\right)\times|a_j-a_i|\right)$$

$$f_{i,j,1}=\min\left( f_{i,j-1,0}+\left(n-j+i\right)\times|a_j-a_i|,f_{i,j-1,1}+\left(n-j+i\right)\times|a_j-a_{j-1}|\right)$$

代码就懒得贴了
然而样例还是过不去……

代码版本3.0
我们发现我们忽略的起点。
所以我们在进行排序的时候，把句子改成这样：sort(a+1,a+n+2)这样就可以把起点$0$算进去了，然后我们要找到起点的位置，当然，由于起点没有奶牛，所以DP式还要改一下：

$$f_{i,j,0}=\min\left( f_{i+1,j,0}+\left(1+n-j+i\right)\times|a_{i+1}-a_i|,f_{i+1,j,1}+\left(1+n-j+i\right)\times|a_j-a_i|\right)$$

$$f_{i,j,1}=\min\left( f_{i,j-1,0}+\left(1+n-j+i\right)\times|a_j-a_i|,f_{i,j-1,1}+\left(1+n-j+i\right)\times|a_j-a_{j-1}|\right)$$

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
using namespace std;
int n,a[1039],s;
int f[1039][1039][2];
int main(){
	//freopen("1.txt","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	a[n+1]=0;
	sort(a+1,a+n+2);
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
	    if(!a[i])
	        s=i;
	f[s][s][0]=f[s][s][1]=0;
	for(int i=n+1;i>=1;i--)
		for(int j=i+1;j<=n+1;j++){
			//if(i==j) f[i][j][0]=f[i][j][1]=abs(a[i]);
			//else {
				f[i][j][0]=min( f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])*(n-j+i+1) , f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])*(n-j+i+1) );
				f[i][j][1]=min( f[i][j-1][0]+(a[j]-a[i])*(n-j+i+1) , f[i][j-1][1]+(a[j]-a[j-1])*(n-j+i+1) );
			//}
		}
	printf("%d",min(f[1][n+1][0],f[1][n+1][1]));
	return 0;
}

然而样例还是过不去……
我太难了

代码版本4.0
我们发现，在DP式中有一个东西是这样的：$n-i+j+1$这个是奶牛的个数，但是，我们发现，如果$i>s$（$s$为起点），那么我们发现，这个区间是没有意义的，而且这个DP式也是错的，所以我们的for循环要改一下：

for(int i=s;i>=1;i--)
		for(int j=i+1;j<=n+1;j++)

为了在计算中不要调用到无意义的区间，我们还需要把数组$f$赋值成$\operatorname{INF}$，于是我们加上一句话。memset(f,0x3f,sizeof(f));
然后就可以过样例了，其实也AC了。
献上AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
using namespace std;
int n,a[1039],s;
int f[1039][1039][2];
int main(){
	//freopen("1.txt","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	a[n+1]=0;
	sort(a+1,a+n+2);
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
	    if(!a[i])
	        s=i;
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	f[s][s][0]=f[s][s][1]=0;
	for(int i=s;i>=1;i--)
		for(int j=i+1;j<=n+1;j++){
			//if(i==j) f[i][j][0]=f[i][j][1]=abs(a[i]);
			//else {
				f[i][j][0]=min( f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])*(n-j+i+1) , f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])*(n-j+i+1) );
				f[i][j][1]=min( f[i][j-1][0]+(a[j]-a[i])*(n-j+i+1) , f[i][j-1][1]+(a[j]-a[j-1])*(n-j+i+1) );
			//}
		}
	printf("%d",min(f[1][n+1][0],f[1][n+1][1]));
	return 0;
}