[APIO2010]巡逻 题解

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题目描述

在一个地区中有 n 个村庄，编号为 1, 2, ..., n。有 n – 1 条道路连接着这些村 庄，每条道路刚好连接两个村庄，从任何一个村庄，都可以通过这些道路到达其 他任一个村庄。每条道路的长度均为 1 个单位。 为保证该地区的安全，巡警车每天要到所有的道路上巡逻。警察局设在编号 为 1 的村庄里，每天巡警车总是从警察局出发，最终又回到警察局。 下图表示一个有 8 个村庄的地区，其中村庄用圆表示（其中村庄 1 用黑色的 圆表示），道路是连接这些圆的线段。为了遍历所有的道路，巡警车需要走的距 离为 14 个单位，每条道路都需要经过两次。

为了减少总的巡逻距离，该地区准备在这些村庄之间建立 K 条新的道路， 每条新道路可以连接任意两个村庄。两条新道路可以在同一个村庄会合或结束 （见下面的图例（c））。 一条新道路甚至可以是一个环，即，其两端连接到同一 个村庄。 由于资金有限，K 只能是 1 或 2。同时，为了不浪费资金，每天巡警车必须 经过新建的道路正好一次。 下图给出了一些建立新道路的例子：
在(a)中，新建了一条道路，总的距离是 11。在(b)中，新建了两条道路，总 的巡逻距离是 10。在(c)中，新建了两条道路，但由于巡警车要经过每条新道路 正好一次，总的距离变为了 15。 试编写一个程序，读取村庄间道路的信息和需要新建的道路数，计算出最佳 的新建道路的方案使得总的巡逻距离最小，并输出这个最小的巡逻距离。

输入格式

第一行包含两个整数 n, K(1 ≤ K ≤ 2)。接下来 n – 1 行，每行两个整数 a, b， 表示村庄 a 与 b 之间有一条道路(1 ≤ a, b ≤ n)。

输出格式

输出一个整数，表示新建了 K 条道路后能达到的最小巡逻距离。

输入输出样例

输入 #1

8 1 
1 2 
3 1 
3 4 
5 3 
7 5 
8 5 
5 6 

输出 #1

11

发现原题木有$\KaTeX$啊，那么我也不改了吧。

题目解析

我们分两种情况讨论：$k=1$和$k=2$
当新增加一条边的时候，就会组成一个环，假设这条道路连接的两个点距离是$l$，这样就可以减少$l-1$的距离，长度就是$2\times\left( n-1\right)-\left( l-1 \right)=2n-l-1$
显然要使$l$最大，其实就是这棵树的直径。
当$k=2$的时候，就需要在$k=1$的情况下再加一条边就可以了。假设这条道路连接的两个点距离是$l_2$。如果这两个环不重合，那么最后的距离就是$2\times \left( n-1 \right)-\left(l-1\right)-\left(l_2-1\right)=2n-l-l_2$。如果这两个环重合了，由于新建的道路必须经过$1$次，所以最后的距离还是$2n-l-l_2$。
要使答案最大，就要用$l+l_2$最大了，当$l$为树的直径时，即树内的最长链，$l_2$就是树上第二长的链。
但是，我们怎么求树的第二长链呢？
我们先求出树的直径，然后求出直径路径，具体做法详见blog。然后把树的直径上的边权改成$-1$（或者是一个负数），再跑一次树的直径就可以了。（当然这是一棵带边权的树，初始边权为$1$）。
代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define maxn 2000039
using namespace std;
int head[maxn],to[maxn],nex[maxn],v[maxn],k;
#define add(x,y,z); nex[++k]=head[x];\
to[k]=y;\
head[x]=k;\
v[k]=z;
int n,m,x,y,z;
int maxx;
int f[maxn],g[maxn][3],node;
void dfs(int num,int pre){  
	f[num]=0;
	for(int i=head[num];i!=-1;i=nex[i])
        if(to[i]!=pre){
            dfs(to[i],num);
            maxx=max(maxx,f[num]+f[to[i]]+v[i]);
            f[num]=max(f[to[i]]+v[i],f[num]);
        }
    return;
}
void dfss(int num,int pre){  
	f[num]=0;
	int max1,max2;
	max1=max2=0;
	for(int i=head[num];i!=-1;i=nex[i])
        if(to[i]!=pre){
            dfss(to[i],num);
            if(f[to[i]]+v[i]>max1){
            	max2=max1; g[num][2]=g[num][1];
            	max1=f[to[i]]+v[i];
            	g[num][1]=to[i];
			}
			else if(f[to[i]]+v[i]>max2){
				max2=f[to[i]]+v[i];
            	g[num][2]=to[i];
			}
            f[num]=max(f[to[i]]+v[i],f[num]);
        }
    if(max1+max2>maxx){
    	maxx=max1+max2;
    	node=num;
	}
    return;
}
void del(int x,int y){
	for(int i=head[x];i!=-1;i=nex[i]){
		if(to[i]==g[x][y]){
			v[i]=-1;
			del(to[i],1);
		}
	}
	return;
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y,1);
        add(y,x,1);
    }
    if(m==1){
    	maxx=-10000000000;
    	dfs(1,0);
    	printf("%d",(n-1)*2-(maxx-1));
	}
	else{
		maxx=0;
		dfss(1,0);
		int maxy=maxx;
		maxx=0;
		del(node,1);
		del(node,2);
		dfs(1,0);
		printf("%d",n*2-maxx-maxy);
	}
    return 0;
}