填坑行动6-树的重心

目录

• 什么是树的重心
• 树的重心的性质
• 怎么求树的重心

什么是树的重心

对于一棵树无根树，找到一个点，使得把树变成以该点为根的有根树时，最大子树的结点数最小。换句话说，删除这个点后最大连通块（一定是树）的结点数最小。
树的重心不唯一。

树的重心的性质

1. 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个重心，他们的距离和一样。
2. 把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
3. 一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
4. 一棵树最多有两个重心，且相邻。

PS：以上部分内容来自于百度百科

怎么求树的重心

从上面可以得出，树的重心是树上的一个节点并且去掉这个节点的时候，剩下的连通块中，最大连通块中节点数最小，我们可以从这一点入手。
这里使用树形DP的方式来计算树的重心。
令这棵树的节点$1$为根（其实什么节点都可以），$f_i$为根节点$i$的节点数量。那么以这个点$i$为根，点$i$的儿子依次为$a_1,a_2,a_3 \dots a_n$，那么剩下的连通块的节点数分别为 $$f_{a_1}\ ,\ f_{a_2}\ ,\ f_{a_3}\ ,\ n-\sum_{i=1}^{n}f_{a_i}-1$$
令节点$i$的儿子依次为$a_1,a_2,a_3 \dots a_n$,那么我们可以得出 $$f_i\ =\ \sum_{i=1}^{n}f_{a_i}+1$$
然后直接一趟dfs就完事了。
代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define maxn 200039
using namespace std;
int head[maxn],to[maxn],nex[maxn],k;
#define add(x,y) nex[++k]=head[x];\
head[x]=k;\
to[k]=y;
int n,minx,node;//node 是树的重心（不唯一） 
int u,v,f[maxn];
void dfs(int num,int pre){
	int maxx=-10000000000;
	f[num]=1;
	for(int i=head[num];i!=-1;i=nex[i])
	    if(to[i]!=pre){
	    	dfs(to[i],num);
	    	f[num]+=f[to[i]];
	    	maxx=max(f[num],maxx);
		}
	maxx=max(f[num],n-f[num]);
	if(maxx<minx){
		minx=maxx;
		node=num;
	}
	return;
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++){
    	scanf("%d%d",&u,&v);
    	add(u,v);
    	add(v,u);
	}
	minx=0x7fffffff;
	dfs(1,0);
	printf("%d %d",minx,node);
	return 0;
}