填坑行动3-背包DP

目录

• 01背包
  • 算法解析
  • 复杂度分析
  • 空间优化

01背包

01背包可以说是比较经典的一个算法了，它是动态规划的精髓。01背包问题一般是一个这样的问题：

有$N$种物品，每种物品的体积分别为$w_i$，价值分别为$C_i$。每种物品只能拿一次。 有一个体积为$M$的背包。请问背包能带走最大的价值是多少？

一般人会想到用贪心来做，但是，贪心往往是错误的。看一下一组数据：
$N=3$
$M=5$
$W=\{4,3,2\}$
$C=\{7,5,3\}$
显然答案是$8$，但是用贪心的话答案就是$7$，所以贪心是错误的。
那么该怎么做呢？$O\left( 2^n\right)$肯定会T飞，那么该肿么办呢？

算法解析

令$f_{i,j}$为当背包体积为$j$的时候，有$i$件物品时所带走最大的价值。显然有两种做法：不取、取。
如果不取，那么值就是$f_{i-1,j}$。
如果取，那么就要在背包内挖出一块$w_i$的空间来存储，还要加上$c_i$。值就是$f_{i-1,j-w_i}+c_i$。当然还有满足$w_i\leq j$
综上得 $$f_{i,j}=\max\left(f_{i-1,j},f_{i-1,j-w_i}+c_i\right)$$

复杂度分析

给出一个代码

int f[maxn][maxn];
//读入已省略
for(i=1;i<=m;i++) f[1][i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        if(j>=w[i])
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
        else f[i][j]=f[i-1][j];

显然我们可以发现空间复杂度为$O \left(MN\right)$。时间复杂度也是$O \left(MN\right)$。

空间优化

有些时候当$MN$比较大的时候，我们需要进行空间优化。
我们发现，要得到$f_i$这一行，只需要得到$f_{i-1}$就可以了，我们就可以开一个数组int f[2][maxn]就够了。
当然，我们可以直接开一个一维数组，只不过需要从后往前更新，至于原因....我懒得说