填坑行动2-字符串DP

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这是填坑行动的第二篇-字符串DP。

板子题

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题目描述

$\operatorname{DNA}$分子是人类遗传信息的载体，它间接地指导蛋白质的合成。$\operatorname{DNA}$分子是由四种核苷酸组成的长链，这四种核苷酸分别是腺嘌呤核苷酸（用 $\operatorname{A}$代表）、鸟嘌呤核苷酸（用 $\operatorname{G}$代表）、胞嘧啶核苷酸（用 $\operatorname{C}$代表）和胸腺嘧啶核苷酸（用$\operatorname{T}$代表）。习惯上用一个字符集为 $\{ \operatorname{{A,T,C,G}} \}$ 的字符串来表示一个$\operatorname{DNA}$分子序列，如 $\operatorname{CGTTAGA}$。

在生物进化过程中， $\operatorname{DNA}$分子可能发生各种各样的突变。这种突变形成了生物遗传信息的改变，从而使生物得以分化，构成了生物的多样性。
主要的突变有三种：
在一个 $\operatorname{DNA}$序列中插入一个新的核苷酸，
$\operatorname{DNA}$序列中丢失了一个核苷酸，
$\operatorname{DNA}$序列中的某个核苷酸被另一个核苷酸所取代。
所谓两个$\operatorname{DNA}$序列的一个比对是寻找一种排列方式，使得两个 $\operatorname{DNA}$序列在同样的位置上有相同的核苷酸，而若在同样的位置上两个DNA序列的核苷酸不同，则是由三种突变之一得到。例如，对两个$\operatorname{DNA}$序列$T_1=\operatorname{ATCAG}$ $T_2 =\operatorname{ACTAG}2$，可以按如下方式比对，（$-$ 表示空白）
比对一：

$T_1$	$T_2$
$A$	$A$
$T$	$-$
$C$	$C$
$A$	$A$
$-$	$T$
$T$	$T$
也可以按如下方式比对
比对二：
$T_1$	$T_2$
--	--
$A$	$A$
$T$	$C$
$C$	$A$
$A$	$T$
$T$	$T$
如果两个 $\operatorname{DNA}$序列在相同的位置上有越多相同的核苷酸对，则表明它们之间越相似，即它们存在功能上的相似性和进化史上的亲缘关系。
对于两个$\operatorname{DNA}$序列的一个比对，规定如下得分方式：
一个同样的位置上有相同的核苷酸对，则可得 $1$分；
一个同样的位置上有不同的核苷酸对，则得$0$分；
如果在某个位置上一个序列有核苷酸，而另一个序列在该位置上为$-$，则得$-2$ 分。例如，比对一的得分是$0$分，比对二的得分是$3$分。
问题是：对于两个$\operatorname{DNA}$序列，寻找一种比对方式，使得它们的得分最高。

输入格式

输入数据由文件名为INPUT.*的文本文件提供，共有2行。
第1行为DNA序列T1 , 第2行为DNA序列T2 。序列的长度不大于1000。序列中的字母是英文小写或者大写字母。

输出格式

程序运行结束时，在屏幕上输出所找出的最大的得分

输入输出样例

输入#1

Atcag
Actag

输入#2

3

算法理解

DP，说实话是普及组的一个坎，我们可以简单叙述一下DP的本质。
一、区间DP
我们可以用$f_{i,j}$来表示区间$\left[ i,j \right]$的答案，然后我们就可以根据题意，用$f_{i-1,j},f_{i,j-1},f_{i-1,j-1}$之类的来进行类推，有些时候我们甚至会用到$3$维甚至$3$维以上的数组，当然可以滚动，但是这里就不说了。
二、线性DP
我们可以用$f_i$可以表示区间$\left[ 1,i \right]$的答案，然后我们可以根据题意，用$f_{i-1},f_{i-2}$之类的来进行递推。
三、背包DP
待填坑
四、字符串背包
就是放在字符串上而已罢了。
敲重点，DP的精髓就在于方程式转移和背包DP！！！

题目解析

既然是DP题，那么我们就开始推DP式吧。
令$f_{i,j}$表示第一个字符串长度为$i$，第二个字符串长度为$j$的时候，答案是多少。
那么，如果$s1_i=s2_j$的时候，我们就可以得出$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+1$
当然，我们也可以推出另外两个方程转移式：
$f_{i,j}=f_{i-1,j}-2$
$f_{i,j}=f_{i,j-1}-2$
综合可得：

$$f_{i,j}=\operatorname{max} \begin{cases} f_{i,j}+1& s1_i=s2_j\\ f_{i-1,j}-2\\ f_{i,j-1}-2 \end{cases}$$

以下为一堆代码、代码改进思路。
因为太蒟了所以会有一些没什么用的东西
长代码警告。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define maxn 1039
using namespace std;
char s1[maxn],s2[maxn];
int f[maxn][maxn];
int n1,n2;
int i,j,k;
int maxx;
int main(){
    cin>>s1>>s2;
    n1=strlen(s1); n2=strlen(s2); 
    for(i=0;i<n1;i++)
        if(s1[i]<'a')
            s1[i]+=32;
    for(i=0;i<n2;i++)
        if(s2[i]<'a')
            s2[i]+=32;
    if(s1[0]==s2[0])
        f[0][0]=1;	
    else f[0][0]=0;
    for(i=0;i<n1;i++)
        for(j=0;j<n2;j++){
        	if(i==j&&i==0) continue;
			maxx=f[i-1][j-1];//赋初值
        	if(s1[i]==s2[j])//条件
			    maxx=max(f[i-1][j-1]+1,maxx);//前一个满足条件就+1
			if(s1[i-1]==s2[j])//条件
			    maxx=max(f[i-1][j]-2,maxx);//空白-2
			if(s1[i]==s2[j-1])
			    maxx=max(f[i][j-1]-2,maxx);//空白-2
			f[i][j]=maxx;
		}
	printf("%d",f[n1-1][n2-1]);
	return 0;
}

结果：
仅仅过了样例......
我们来分析一下，如果是空白的，其实是不需要条件的，所以我们改一下代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define maxn 1039
using namespace std;
char s1[maxn],s2[maxn];
int f[maxn][maxn];
int n1,n2;
int i,j,k;
int maxx;
int main(){
    cin>>s1>>s2;
    n1=strlen(s1); n2=strlen(s2); 
    for(i=0;i<n1;i++)
        if(s1[i]<'a')
            s1[i]+=32;
    for(i=0;i<n2;i++)
        if(s2[i]<'a')
            s2[i]+=32;
    f[0][0]=0;
    for(i=1;i<n1;i++)
        f[i][0]=f[i-1][0]-2;
    for(i=1;i<n2;i++)
        f[0][i]=f[0][i-1]-2;
    for(i=1;i<n1;i++)
        for(j=1;j<n2;j++){
			maxx=f[i-1][j-1];
        	if(s1[i]==s2[j]) maxx=max(f[i-1][j-1]+1,maxx);
			//if(s1[i-1]==s2[j])
			maxx=max(f[i-1][j]-2,maxx);
			//if(s1[i]==s2[j-1])
			maxx=max(f[i][j-1]-2,maxx);
			f[i][j]=maxx;
		}
	printf("%d",f[n1-1][n2-1]);
	return 0;
}

但是依然没有AC：

我们尝试自己造一组数据：
输入：

abc
abd

输出：

1

我们会发现循环的范围出现了问题。
我们把循环改成这样的：

for(i=1;i<=n1;i++)
    for(j=1;j<=n2;j++)

然后把if语句的地方改一改：if(s1[i-1]==s2[j-1])
然后就可以AC了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define maxn 1039
using namespace std;
char s1[maxn],s2[maxn];
int f[maxn][maxn];
int n1,n2;
int i,j,k,flag;
int maxx;
int main(){
    cin>>s1>>s2;
    n1=strlen(s1); n2=strlen(s2); 
    for(i=0;i<n1;i++)
        if(s1[i]<'a')
            s1[i]+=32;
    for(i=0;i<n2;i++)
        if(s2[i]<'a')
            s2[i]+=32;
    f[0][0]=0;
    for(i=1;i<n1;i++)
        f[i][0]=f[i-1][0]-2;
    for(i=1;i<n2;i++)
        f[0][i]=f[0][i-1]-2;
    for(i=1;i<=n1;i++)
        for(j=1;j<=n2;j++){
        	flag=0;
        	if(s1[i-1]==s2[j-1])
        	    flag=1;
			f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+flag,max(f[i-1][j]-2,f[i][j-1]-2));
		}
	printf("%d",f[n1][n2]);
	return 0;
}