搜索与回溯 学习笔记

目录

• 板子题
  • • 题目描述
    • 输入格式
    • 输出格式
    • 输入输出样例
    • 说明/提示
• 算法理解
  • • 算法实现
    • 代码实现
    • 算法复杂度
• 板子题-解析
  • • 解法1
    • 解法2--AC

板子题

原题网址P1219 八皇后
八皇后

题目描述

一个如下的 $6\times6$ 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。

上面的布局可以用序列 $2 4 6 1 3 5$ 来描述，第$i$个数字表示在第 $i$行的相应位置有一个棋子，如下：
行号$1 2 3 4 5 6$
列号$2 4 6 1 3 5$
这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出，解按字典顺序排列。
请输出前$3$个解。最后一行是解的总个数。

输入格式

一行一个正整数$n$，表示棋盘是$n \times n$大小的。

输出格式

前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。

输入输出样例

输入 # 1

6

输出 #1

2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

说明/提示

【数据范围】
对于$100\%$的数据,$6≤n≤13$。

题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 1.5

算法理解

暴搜嘛，其实可以做$99\%$的题目，但是其中$99.999\%$的题目会TLE，得分一般看造数据的良心，一般只有$20$~$80$分，如果想A，对于一些数据比较弱的题目，只要剪枝优化或者使用记忆化搜索就可以了，但是对于像01背包这样的题目，还是改进算法更靠谱。
但是，每道题目，当想不出方法时，不能让$100$分就白白流去。
方法一：骗分
方法二：暴搜（敲重点）

算法实现

使用一个递归函数即可。

代码实现

这里给出模板（伪代码）。

void search(int k){
	if(到达目的地){ 输出解;return;  }
	for(int i=1;i<=算符总数;i++){
		if(不满足条件) continue;
		保存结果;
		进行递归前的操作;
		search(k+1);
		恢复:递归前一步的内容;
		{回溯一步} 
	} 
}

注意：这是我自己习惯的一个模板，有自己的码风，与书上的略有不同，勿喷。

算法复杂度

设总共有$N$种独立的选择（类似于八皇后的几行，01背包的物品数量），每一种选择的选择方案（类似八皇后的列数，多重背包的每件物品的个数）为$a_i$ $(1\leq i\leq N)$那么，复杂度就为$O(a_1 \times a_2 \times a_3 ...a_{N-1}\times a_N)$如果想八皇后、01背包一样$a_1 = a_2 = a_3 ...a_{n-1} = a_n$,设$M=a_1$那么复杂度为$O(M^N)$,非常慢，但是对于小数据还是非常爽的。

板子题-解析

先看一下数据范围：
$6≤n≤13$
在简单的算一下：
$13^2=169$
$13^3=2197$
$13^4=28561$
$13^5=371293$
$13^6=4826809$
$13^7=62748517$
$13^8=815730721$
时间还是比较充裕的。

解法1

首先，开一个$see[39][39]$的数组来贮存这个位置是否被占取，利用全局变量的初值，0为未占取，1为已占取。
代码如下：

#include<cstdio>
#define maxn 39
using namespace std;
int n,see[maxn][maxn],ans[maxn],sum,a[maxn];
void search(int k){
	if(k==n+1){
		sum++;
		if(sum<=3){
			for(int i=1;i<=n;i++)
		       printf("%d ",a[i]);
		    printf("\n");
		}
		return;
	}
	register int i,j;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(k==1){
			for(int x=1;x<=n;x++)
		        for(int y=1;y<=n;y++) see[x][y]=0;
		}
		if(see[k][i]==1) continue;
		a[k]=i;
		register int x=k,y=i;
		int now[maxn][maxn]={{0}};
		for(x=1;x<=n;x++)
		    for(y=1;y<=n;y++)
		        now[x][y]=see[x][y];
		
		for(int j=1;j<=n;j++) see[j][i]=1;
		x=k,y=i;
		while(1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=n){ see[x][y]=1; x++;y++; }
		x=k,y=i;
		while(1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=n){ see[x][y]=1; x++;y--; }
		x=k,y=i;
		while(1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=n){ see[x][y]=1; x--;y++; }
		x=k,y=i;
		while(1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=n){ see[x][y]=1;x--;y--; }
		search(k+1);
		
		for(x=1;x<=n;x++)
		    for(y=1;y<=n;y++)
		        see[x][y]=now[x][y];
	}
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    search(1);
    printf("%d",sum);
    return 0;
}
 

测评结果：
ACACACACACACACTLE
he~~~~
TLE了一个

啊~~~~~~~~~~~~

可以看见，第$7$个测试点已经是$0.8$秒的了，看来，还得优化一波~~~~
当然是寄存器和右上角的O2啦
好了，不扯了，加下来请看——————

解法2--AC

二话不说，先上图：

Y\X	1	2	3	4	5	6	7	8
1			|				/
2			|			/
3	\		|		/
4		\	|	/
5	-	-	▲	-	-	-	-	-
6		/	|	\
7	/		|		\
8			|			\

▲表示皇后的位置
| - \ /表示皇后控制的区域，也就是说，如果皇后放在▲上，这些位置就不能放皇后了。
也就是说，我们只要开3个数组，因为我们是一行一行搜索的，就没必要统计“-”的位置了。

在仔细看，你会发现：
1.“|”永远位于同一列;
2.“\”行与列的差永远一样，由于C++不能处理负下标的数组（会RE），所以在用数组表示的时候，要加上一个数（这里用$n$）;
3.“/”行与列的和永远一样。

用$line$ 数组表示“|”，用l表示;
用$l$ 数组表示“/”
用$r$ 数组表示“\”（别忘了加上$n$）
代码君献上AC代码：
注：这题我用了$n$小时，$n>2$

#include<cstdio>
#define maxn 39
using namespace std;
int n,line[maxn],l[maxn],r[maxn],sum,a[maxn];
void search(int k){
	if(k==n+1){
		sum++;
		if(sum<=3){
			for(int i=1;i<=n;i++)
		       printf("%d ",a[i]);
		    printf("\n");
		}
		return;
	}
	int i,j;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(line[i]==1||l[k+i]==1||r[k-i+n]==1) continue;
		a[k]=i;
		line[i]=1; l[k+i]=1; r[k-i+n]=1;
		search(k+1);
		line[i]=0; l[k+i]=0; r[k-i+n]=0;
	}
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    search(1);
    printf("%d",sum);
    return 0;
}
 

结尾福利：
祝同学们新年快乐！
祝武汉人民度过难关！
最后记得打$1$月$28$日（农历初四）$14:00$~$18:00$的月赛哦~~