浅谈二分

目录

• 例题-模板题-数字查找
  • • 题目描述
    • 输入
    • 输出
    • 样例输入
    • 样例输出
• 算法理解
  • • 解释&效率
    • 算法实现
    • 算法解析
    • 样例详解
• 代码实现

例题-模板题-数字查找

为大家带来一道裸的二分题

题目描述

输入n个数字，进行T此查询，每次输入关键字，查询第一个大于关键字的数字，若不存在则输出"NO"。

输入

第一行n和T，代表n个数字，T次查询
接下来一行n个数字
接下来T行表示每次查询的数字

输出

对于每次查询，查询成功输出"YES"，失败输出"NO"，以换行为间隔

样例输入

5 3
2 3 1 4 7
6
1
7

样例输出

7
2
NO

算法理解

解释&效率

二分，本来是属于分治算法，分治分治，分而治之，指的是分开讨论。其实，二分就是把一个有序的队列进行二分，一分为二，这样就可以做到O($\log_2(n)$)的复杂度了，O($\log_2(n)$)是一个很强大的运算。注意看计算器的运算：
$log_2(1e8)\approx26.575$
可以了吧。

算法实现

首先，二分需要一个模板：

l=0; r=n+1;
while(l+1<r){
	m=(l+r)>>1;
    if(check()) l=m;
    else r=m;
	}
printf("%d",l);

然后说一句，check函数才是二分的精髓。

算法解析

二分的要求是：一个有序的数列，如果是无序的就不行的了。但是，例如，要求一个区间之内最大的素数，就不能用二分了。因为，并不是所有的素数都大于实数，所以，二分之适用于一段有序并且有分界的数列。其中，如果遇到最大值的最小值、最小值的最大值一定是二分，这时，只需要把check函数打出来就可以了。

样例详解

先进行一次排序：
排序结果： 1 2 3 4 7
要查询的数：6
具体运行过程如下：

time	l	r	m=(l+r)>>1	am	l=m;or r=m;
1	0	6	3	3	l=m;
2	3	6	4	4	l=m;
3	5	6	5	7	l=m;
下一轮就跳出来了，最后的答案是$5$，即$a_5=7$，输出的是$7$

代码实现

由于这里的check函数比较简单，所以，就可以直接写在if的里面，此外，注意，如果要调试，建议调试check函数。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 100001
using namespace std;
int a[maxn],T,l,r,m,x,n;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&T);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    while(T--){
    	scanf("%d",&x);
    	if(a[n]<=x){
    		printf("NO\n");
    		continue;
		}
		l=0; r=n+1;
    	while(l+1<r){
    		m=(l+r)>>1;
    		if(a[m]>x) r=m;
    		else l=m;
		}
		printf("%d\n",a[r]);
	}
	return 0;
}
 

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