[BJOI2012]算不出的等式 题解

题目来源：[Beijing wc2012]；
原题网址：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2659
bzoj P2659
附原题：
题目描述

背景：
曾经有一个老掉牙的游戏放在我面前，我没有珍惜。直到这个游戏停产才追悔莫及。人世间最痛苦的事情莫过于此，如果上天给我一个再玩一次的机会，我一定要，通关！
题目描述：
如果你真的很想玩这个游戏，那么就先看看我的题目吧，搞不定这些的话是没办法通关的哟。第一关其实很简单，只有一个关闭的有密码锁的大门。这大门上写着一个奇怪的算式，估计是要你利用它算出密码来开门吧（果然是老掉牙的情节）。
传说中这个式子中的p和q是两个奇质数，等号右边算出来应该就是密码了吧，你是真的算不出来么？

输入
只有一行，两个奇质数，分别表示p,q。
输出
一个数,表示算式结果。
样例输入
5 7
样例输出
6
提示
HINT:p,q在32位整型范围内。

题解内容

首先，要来看一看题目，题目比较简单的，但是，这是一到数学题
不多说，0.1版本TLE代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int s,p,q;
int main(){
    scanf("%d%d",&p,&q);
    for(int i=1;i<=(p-1)>>1;i++)
        s+=i*q/p;
    for(int i=1;i<=(q-1)>>1;i++)
        s+=i*p/q;
    printf("%d",s);
    return 0;
}

简单的for循环来解决这一道题
然而~~~~~

TLE 啦

分析原因：这是在int范围内的，int的范围是2147483648，直接爆掉

然后，由于是数学题，所以，只要把公式推出来就是了，但是推公式有这么简单吗？？？因为有向下取整，所以，就是一道数论题了
首先呢，就是想到数学老师的数形结合，献上图片：

由于是向下取整，所以，你会发现一个公式：这些的和就是这个这个长方形的面积，而且，q，p都是质数，所以，所有的点都不会与方格的角重合，这样，就可以使用公式了。即为 （q-1）*（p-1）/4
推出结果后，就可以把0.2版WA代码推出来了。
代码如下：

#include<cstdio>
using namespace std;
long long p,q;
int main(){
    scanf("%d%d",&p,&q);
    printf("%lld",(p-1)/2*(q-1)/2);
	return 0;
}
 

然后测评出结果：

没错，错误10%，也就是说，这个公式并不能推出所有状态的，来一组反例：（当q==p的时候，上图的线就会与方格的顶点重合了）
样例输入
3 3
样例输出
2
实际输出
1
进行多次的推理后，我们发现当q=p的时候，我们的公式不管用了。
在看一些输入：

样例输入	样例输出	实际输出
3 3	2	1
5 5	6	4
7 7	12	9
11 11	30	25
发现公式了吗？
当p==q时，由于重合，所以重合的点还要加上 $1$ ，也就是说，总和还要加上（q-1）/ 2
最后，终于做好了AC代码
献上代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
long long p,q;
int main(){
    scanf("%d%d",&p,&q);
    if(q==p)printf("%lld",(p-1)*(q-1)/4+(p-1)/2);
    else
    printf("%lld\n",(p-1)*(q-1)/4);
	return 0;
}
 

END.