【做题记录】公开题题目泛做

  记录一下一些有趣题目的做法。（实时更新）

UOJ310

【题意】

   给出N（\(N \leq 10^6\)）个数字，两个人来选。每一个人各选出一个数字（\(S \leq 10^6\)）集合（集合不能相交）。问两个人取的数字的异或和正好相等的方案数（模一个NTT质数）。

【做法】

  先试着暴力用FWT来表示，然后优化这一过程，发现另一个形式的FWT>_<。

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【题意】

   给出一个\(N\)个点、\(M\)条边的简单无向图。再给定一个常数\(X\)。对于一个无序对\((x,y)\)，如果存在一个正数\(z\)，使得添加了\(x-y\)，长度为\(z\)的边后，原图仍然没有重边，且从\(1\)到 \(N\)的最短路路径数增加量 > X ，那么称其为合法的。求合法的\((x,y)\)组数。 \(N \leq 20000\) , $ M \leq 10^5 $, $ X \leq 10^9 $

【做法】

  感觉这题挺不错。首先假设暴力枚举两个点x和y，判断在它们之间连边是否合法。我们不妨设\(f_x\)为从1到x的走最短路方案数,\(g_y\)表示从y到n的走最短路方案数，那么增加的方案数显然为\(f_x*g_y\)（注意x和y不必一定在原图的最短路上）；同时我们必须保证\(dist_{1,x}+dist{y,n}<dist{1,n}\)。根据上面的式子，我们可以按dist重新编号点，每次枚举y后，对应前缀的一段x合法。判断 \(f_x*g_y\) > X 时，可以用可持久化线段树计算合法的x数量（也可以离线）。效率是\(O(N \log N)\)