【知识&题解】UOJ310题解&FWT相关知识概述

总述

　　就我现在的理解，FWT过程可以通过两种看上去不太一样的做法来实现（本质可能是一样的）。
　　一种在pick's blog上有介绍，是基于FFT模式和构造。
　　另一种可以参见2015年VFK的集训队论文，是基于推公式和DP。
　　总的来说，我喜欢VFK的这种套路，他对于三种基本逻辑运算（or，and，xor）都有不同的公式推导，而且感觉更可以推广；不过pick's的构造套路更加适合记忆，特别是在他的系统里，这些运算是可以统一成几乎一样的代码。
　　以下主要是根据VFK的论文来重点讲述集合xor的卷积。

模型的描述

　　我们要在较短的时间内求两个集合的对称差卷积，即
　　$$F_S=\sum\limits_{L|U} {\sum\limits_{R|U} {[A⊕B=S] \times A_L \times B_R}}$$

基于xor的FWT的过程

　　给出一个集合函数 \(F_S\) ，那么我们定义 \(FWT(F)\) 为求集合函数 \(F'_S\) 的过程，使得：
　　$$F'S=\sum\limits {F_T(-1)^{|S∩T|}}$$
　　而且，\(FWT(S)^{-1}\)过程（即将F'还原成F）相应是这样：
　　$$F_S=\frac{1}{2^n} \sum\limits_{T|U} {F'_T(-1)^{|S∩T|}}$$
　　这样定义有啥好处呢？
　　那么我们有结论：
　　$$F'_S=A'_S*B'_S$$
　　这样，只需先将A和B逆一下，然后线性求积，再逆回来。具体证明可以参加VFK的论文。

一道很不错的UOJ例题

【题目大意】

　　给出 \(N(N \leq 10^6)\) 个数字，两个人来选。每一个人各选出一个数字（ $S \leq 10^6 $ ）集合（集合不能相交）。问两个人取的数字的异或和正好相等的方案数（模一个NTT质数）。

【考虑直接DP】

　　设 \(f_{i,j}\) 表示考虑到第i个数字，目前两人的异或和是j的方案数。对于 \(a_{i+1}\) ，如果没有人选，就是 \(f_{i+1,j} \leftarrow f_{i,j}\)，如果选，就是 $f_{i+1,j \oplus a_{i+1}} \leftarrow 2f_{i,j} $ （因为两个人都可以选）。这样就是简单无脑的 \(S^2\) 做法啦！

【用xor卷积的知识来暴力转化】

　　先要暴力地想，对于每一个\(a_{i+1}\)，我们可以暴力开一个数组 \(G\)，满足 \(G_0=1,G_{a_{i+1}}=2\)，然后 \(F_{i+1}=F_{i} \oplus G\)（上述粗体的模型）。
　　只是，这样太浪费了，效率也更低了。

【优化xor卷积】

　　本质上，我们是想快速求得 \(F\) 啊 \(G\) 啊这些函数的反演形态（因为我们是用反演形态相乘的嘛）。
　　根据反演的定义，我们可以知道，\(G\) 函数每一个位置都只有 \(3\) 或 \(-1\) 两种数值（直接带入求 \(G’\) 的式子里即可发现）。而且，这是由下标 \(k\) 和\(a_{i+1}\) 的 \(and\) 值的位数的奇偶性决定的。我们的最终目标，就是对于每一个下标 \(k\)，求出那么多 \(G\) 的这一位的乘积。
　　换一个想法，假设我们可以 \(O(1)\) 知道每一个 \(G'\) 某一个下标位置 \(i\) 的数值之和，那么我们可以通过解方程来确定这个下标有多少个 \(G'\) 是 \(3\)，多少个G'是 \(-1\)，这样也就能用快速幂来求得这一个位置的乘积了。那么如何求和呢？
　　我们要求的 \(Sum_k\) 满足 $ Sum_k=n+2*\sum\limits_{i=1}^n {-1^{|a_i & k|}} $
　　仔细观察这个式子，这不就和反演的定义式一样吗！现在，我们只需统计 \(n\) 个数字中数字 \(i\) 出现了多少次，代入FWT过程，即可求出所有的 \(Sum_k\) !
　　至此所有的问题都解决了，效率也就是 \(O(S \log S)\)，也即是\(O(2^n \times n)\)