n元函数极值点的充要条件

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• 一元可导函数极值的充要条件
• 多元函数极值的充要条件

其他内容是我自己写的， \(n\) 元情形参考了文章： https://zhuanlan.zhihu.com/p/265398780

一元可导函数极值的充要条件

简单来说， \(1\) 元函数 \(f\left(x\right)\) 在 \(x=x_0\) 点处的极值点的（伪）充要条件比较好找，只需要考虑函数 \(f\left(x\right)\) 在 \(x=x_0\) 点处第一个不为零的导数即可。

例如，若 \(f\left(x\right)\) 前 \(n-1\) 阶导都为 \(0\) ，即 \(f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)=0, k=1,2,\cdots ,n-1\) 而 \(f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)=0\) 。显然有如下关系——

• 如果 \(n\) 为奇数，那么 \(x=x_0\) 处一定不是极值点。
• 如果 \(n\) 为偶数，那么——
  • 若 \(f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)>0\) ，则 \(x=x_0\) 处一定是极小点。
  • 若 \(f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)<0\) ，则 \(x=x_0\) 处一定是极大点。

但为什么说是（伪）充要条件呢？因为还有一种可能，就是函数在这一点所有阶导数都为 \(0\) ，即 \(f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)=0, \forall k\in\mathbb{N}^+\) 。有同学可能会说了，这种情况下难道不会 \(f\left(x\right)\equiv 0\) 吗？其实还真不一定。举个例子——

\[f\left( x \right) =\begin{cases} \exp \left( -\frac{1}{x^2} \right) ,&x\ne 0\\ 0,&x=0\\ \end{cases} \]

此时 \(f^{\left(k\right)}\left(0\right)=0, \forall k\in\mathbb{N}^+\) ，但 \(0\) 的确是一个极小值点。

当然，如果函数不可导，那又是另一个话题了。

多元函数极值的充要条件

这部分内容参考的文章 https://zhuanlan.zhihu.com/p/265398780

我们考虑函数的 Hessian 矩阵

\[H\left( f \right) =\left( \begin{matrix} \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_1 \right) ^2}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots& \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_2 \right) ^2}& \cdots& \frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots& \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_n \right) ^2}\\ \end{matrix} \right) \]

• 如果 Hessian 矩阵正定，那么多元函数取得极小值
• 如果 Hessian 矩阵负定，那么多元函数取得极大值
• 如果 Hessian 矩阵惯性系数有正有负，那么多元函数不取得极大值
• 如果 Hessian 矩阵惯性系数半正定或半负定，那么无法判断，需要更高阶的信息

特别地，对于 \(n=2\) 的二维情形，只需考虑行列式

\[\left| \begin{matrix} \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_1 \right) ^2}& \frac{\partial ^2f}{\partial x_1\partial x_2}\\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{\partial ^2f}{\partial \left( x_2 \right) ^2}\\ \end{matrix} \right| \]

• 行列式为正，则多元函数取得极值
• 行列式为负，则多元函数不取得极值
• 行列式为 \(0\) ，那么无法判断

当然，这类比到 \(1\) 维情形，相当于在 \(n=2\) 处截断。但多元函数考虑高维的话也不现实，毕竟高阶偏导交叉项太多了。按照我的猜想的话， \(n\) 次导数相当于 \(n\) 维张量了。不过我也没有查阅相关文献进行考证，就这样吧。