前言
在上一篇文章 【变分法学习笔记（一）】变分法中的欧拉方程的细致讲解&详细推导 - 间宫羽咲sama - 博客园 (cnblogs.com) 中，我们对各种形式的欧拉方程进行了推导，从最简单的 \(1\) 方程 \(1\) 变量 \(1\) 次的欧拉方程，一路推广到了 \(P\) 方程、 \(M\) 变量、 \(N\) 次的欧拉方程以及对应的参数方程形式。
俗话说，书首先要越读越厚，然后要越读越薄。今天，我们要反其道而行之，我们要从复杂的 \(P\) 方程、 \(M\) 变量、 \(N\) 次的欧拉方程回归到最简单的 \(1\) 方程 \(1\) 变量 \(1\) 次的欧拉方程，并且将它进一步进行简化，推导最简单的欧拉方程退化形式。
为什么呢？因为现实中，我们常常遇到简单形式的欧拉方程，所以许多项不用计算。我们总是希望理论越全面越好，应用起来越简单好用越好。
1、F=v(x,y)√(1+y'²)
设 \(F=F\left(x,y,y^\prime\right)\) ，则泛函 \(I=\int_L {F\left(x,y,y^\prime\right) \mathrm{d}x}\) 的极值应当满足如此的必要条件
\[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime} = 0 \tag{1.1}
\]
因为我们经常遇到 \(F\left(x,y,y^\prime\right)=v\left(x,y\right) \sqrt{1+\left(y^\prime \right)^2}\) 的形式，如果我们假设 \(F=F\left(x,y,y^\prime\right)\) 可以分离变量为 \(F\left(x,y,y^\prime\right)=v\left(x,y\right) \sqrt{1+\left(y^\prime \right)^2}\) ，那么欧拉方程退化为
\[\begin{aligned}
\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{\partial F}{\partial y^\prime} \right) &=\frac{\partial v}{\partial y}\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ v\left( x,y \right) \frac{y^\prime}{\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}} \right]\\
&=\frac{\partial v}{\partial y}\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}-\frac{\partial v}{\partial x}\frac{y^\prime}{\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}}-\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\left( y^\prime \right) ^2}{\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}}-v\frac{y^{\prime\prime}}{\left( 1+\left( y^\prime \right) ^2 \right) ^{3/2}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}}\left( \frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}y^\prime-v\frac{y^{\prime\prime}}{1+\left( y^\prime \right) ^2} \right)\\
\end{aligned} \tag{1.2}
\]
因此， \(F\left(x,y,y^\prime\right)=v\left(x,y\right) \sqrt{1+\left(y^\prime \right)^2}\) 对应的欧拉方程为
\[\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}y^\prime-v\frac{y^{\prime\prime}}{1+\left( y^\prime \right) ^2}=0 \tag{1.3}
\]
2、F=F(x,y')
对于表达式不含 \(y\) 的情形，即 \(F=F\left(x,y^\prime\right)\) 的形式，此时 \(\frac{\partial F}{\partial y}\) 项消失，欧拉方程具有首次积分
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime}=0\Rightarrow \frac{\partial F}{\partial y^\prime}=C
\]
例如泛函
\[\int_1^2{\frac{\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}}{x}\mathrm{d}x}
\]
对应的欧拉方程就是
\[\frac{y^\prime}{x\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}}=C
\]
3、F=F(y,y')
对于表达式不含 \(x\) 的情形，即 \(F=F\left(y,y^\prime\right)\) 的形式，此时
\[\begin{array}{l}
\phantom{\Rightarrow }F_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( F_{y^\prime } \right) =0\\
\Rightarrow F_y\mathrm{d}x-\mathrm{d}F_{y^\prime }=0\\
\Rightarrow F_y\mathrm{d}y-y^\prime \mathrm{d}F_{y^\prime }=0\\
\Rightarrow \mathrm{d}F-F_{y^\prime }\mathrm{d}y^\prime -y^\prime \mathrm{d}F_{y^\prime }=0\\
\Rightarrow \mathrm{d}F-\mathrm{d}\left( y^\prime F_{y^\prime } \right) =0\\
\Rightarrow \mathrm{d}\left( F-y^\prime F_{y^\prime } \right) =0\\
\Rightarrow F-y^\prime F_{y^\prime }=C\\
\end{array} \tag{3.1}
\]
故欧拉方程具有首次积分
\[F-y^\prime F_{y^\prime }=C \tag{3.2}
\]
例如泛函
\[\int_{x_1}^{x_2}{y\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}\mathrm{d}x} \tag{3.3}
\]
对应的欧拉方程就是
\[y\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}-y\frac{\left( y^\prime \right) ^2}{\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2}}=C \tag{3.4}
\]
化简即
\[y=C\sqrt{1+\left( y^\prime \right) ^2} \tag{3.5}
\]
