前言
本文的参考书目为欧斐君编著的《变分法及其应用——物理、力学、工程中的经典建模》。由于某位大佬给了我这本书的PDF，也开启了我的变分法学习之旅。因为被变分法的欧拉方程惊艳到了，所以决定将边学边抄书。因为书中只推导了二维、低次的情形，于是我把每种情形的高维高次的情形都推导了一遍，并且许多证明是我按照自己的理解写的，因此证明过程和书中略有区别。我将所有结论放到了最后一章节「总结」部分。
0、泛函的概念
在高中，我们学过映射，函数其实就是一种映射法则。
举个例子，苹果的单价为 \(3\left( \text{元}/\text{斤} \right)\) ，那么假设苹果的斤数为 \(x\left( \text{斤} \right)\) ，苹果的价格为 \(y\left( \text{元} \right)\) 。此时有函数关系 \(y=f\left( x \right)=3x\) 。因为自变量「苹果的斤数」的取值范围是实数集 \(\mathbb{R}\) ，因变量「苹果的价格」的取值范围也是实数集 \(\mathbb{R}\) ，所以我们认为这里的函数关系是 \(\mathbb{R}\xrightarrow[]{f}\mathbb{R}\) 。
但有时候，我们我们希望研究「在一定条件下的最优函数」。例如已知可微曲线过定点 \(\left(0,0\right)\) 和 \(\left(1,2\right)\) ，求满足条件的最短曲线。如果我们假设曲线为 \(y=f\left( x \right)\) ，我们知道弧长表达式为
\[I\left[ f\left( \cdot \right) \right] = \int_0^1 {F\left( x ,f ,f^\prime \right)\mathrm{d}x} = \int_0^1 {\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^2}\mathrm{d}x}\tag{0.1}
\]
此处函数 \(I\left[ f\left( \cdot \right) \right]\) 的自变量 \(f\) 属于二次可微函数集 \(C_{\left[ 0,1 \right]}^{\left(2\right)}\)。也就是说我们可以看作函数 \(I\) 是自变量为函数，因变量为实数的函数。换句话说，函数 \(I\) 是函数的函数，我们称之为泛函。或者可以记为 \(C_{\left[ 0,1 \right]}^{\left(2\right)}\xrightarrow[]{I}\mathbb{R}\) 。
换一个角度看，泛函相当于为每个函数赋予了一个实数值，从而将研究「在一定条件下的最优函数」的问题，转化为了泛函数求最值的问题。而「非边界点的最值的必要条件是极值」，再回忆高数讲的费马引理——「函数极值的必要条件是导数为 \(0\) 」，从而我们可以「通过求导来研究最值/极值问题」。那么，我们能不能把这一结论推广到泛函呢？这就是我们本文要讲的欧拉方程了。
1、变分学基本引理
因为整个变分中都会大量用到这个引理，所以书中将其提出来单独作为一个引理。
当然，这个引理也是相当直观的，直观上，如果一个函数 \(f\left( x \right)\) 和任一高阶可微的函数 \(\eta \left( x \right)\) 正交，那么这个函数理应满足 \(f\left( x \right) \equiv 0\) 。
引理内容
如果 \(f\left( x \right)\) 在 \(\left[ x_1,x_2 \right]\) 上连续， \(\eta \left( x \right)\) 是在 \(\left[ x_1,x_2 \right]\) 上 \(N\) 次可微的任意函数（ \(N\) 可为任意自然数）。如果对于任意的 \(\eta \left( x \right)\) ，都恒有
\[\int_{x_1}^{x_2}{f\left( x \right) \eta \left( x \right) \mathrm{d}x}=0 \tag{1.1} \label{BaseQuote1}
\]
则必有
\[f\left( x \right) \equiv 0, x \in \left[ x_1,x_2 \right]
\]
引理的理解与说明
其实这个条引理相当直观，我们知道：函数向量 \(f\left( x \right)\) 和 \(\eta \left( x \right)\) 的内积是 \(\int_{x_1}^{x_2}{f\left( x \right) \eta \left( x \right) \mathrm{d}x}\) 。如果某个函数向量 \(f\left( x \right)\) 和任意函数 \(\eta \left( x \right)\) 都正交，唯一的可能就是——这个函数 \(f\left( x \right)\) 是零向量，即 \(f\left( x \right) \equiv 0\) 。
实际上，原书中还要求了边界条件 \(\eta \left( x_1 \right) = \eta \left( x_2 \right) = 0\) ，但这一边界条件是不必要的，虽然我们一般都会假设它成立，用以作为边界条件。
这个定理的证明也很简单，采用了反证法。
假设有一个点 \(x_0\) 非 \(0\) ，不妨假设 \(f\left( x_0 \right) > 0\) ，由连续性，我们就能找到一个区间 \(x_0\in \left[ \bar{x}_1,\bar{x}_2 \right]\) 上函数恒正。我们再找一个恒正的 \(2n-1\) 次可微函数 \(\eta \left( x \right) =\left( x-\bar{x}_1 \right) ^{2n}\left( x-\bar{x}_2 \right) ^{2n}, x\in \left[ \bar{x}_1,\bar{x}_2 \right]\) ，其中函数在区间外取 \(0\) 。那么 \(f\left( x \right) \eta \left( x \right)\) 在 \(\left[ \bar{x}_1,\bar{x}_2 \right]\) 上恒正，其余点为 \(0\) ，积分必大于 \(0\) ，这与式 \(\ref{BaseQuote1}\) 矛盾，因此\(f\left( x \right)\) 处处为 \(0\) ，即 \(f\left( x \right) \equiv 0\) 。
之所以说称这个定理为「变分学基本引理」，我们可以换一个更简洁明了的角度来说明这个定理。其实这个定理说明的是这样一个结论——
\[\forall \eta \left( x \right) , \int_{x_1}^{x_2}{f\left( x \right) \eta \left( x \right) \mathrm{d}x}=0 \Rightarrow f\left( x \right) \equiv 0, x\in \left[ \bar{x}_1,\bar{x}_2 \right] \tag{1.2} \label{BaseQuote2}
\]
我们可以通过这个定理去掉泛函的积分以及任意函数 \(\eta \left( x \right)\) ，因此，只要涉及积分的泛函，就逃不开这个定理。
2、单方程单变量欧拉方程
2.1、单方程单变量一次的欧拉方程的证明
定理内容
设泛函
\[I\left[ y\left( \cdot \right) \right] = \int_{x_1}^{x_2} {F\left( x ,y ,y^\prime \right)\mathrm{d}x} \tag{2.1} \label{1fun1varquaddef}
\]
其中 \(F\) 是有着三个独立变量的已知函数，且具有二阶连续偏导数，其可取函数集为
\[\mathbb{Y}_{1,1,1}=\left\{ y\left( x \right) \left| \begin{array}{l}
y\left( x \right) \in C_{\left[ x_1,x_2 \right]}^{\left( 2 \right)}\\
y\left( x_1 \right) =y_1,y\left( x_2 \right) =y_2\\
\end{array} \right. \right\} \tag{2.2} \label{1fun1varquadpremise}
\]
\(Y\left(x\right) \in \mathbb{Y}_{1,1,1}\) 使泛函 \(\ref{1fun1varquaddef}\) 取得极小值的必要条件是： \(Y\left(x\right)\) 是微分方程 \(\ref{1fun1varquadsolution}\) 的解
\[F_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^\prime}=0 \tag{2.3} \label{1fun1varquadsolution}
\]
其中 \(F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=F_2^\prime\) ， \(F_{y^\prime}=\frac{\partial F}{\partial y^\prime}=F_3^\prime\) 。
定理的理解与证明
我们知道，一元函数极值得到必要条件为 \(f^\prime \left( x_0 \right)=0\) ，即 \(\left. \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} \right|_{x=x_0}=0\) ，亦即 \(\left. \left[ \frac{\mathrm{d}f\left( x_0+\alpha \right)}{\mathrm{d}\alpha} \right] \right|_{\alpha =0}=0\) 。那么泛函的 \(f^\prime \left( x_0 \right) = \left. \left[ \frac{\mathrm{d}f\left( x_0+\alpha \right)}{\mathrm{d}\alpha} \right] \right|_{\alpha =0}\) 应当对应了什么呢？
对于我们期望的极值函数 \(Y\left( x \right)\) ，它应当满足这样的性质——我们将其叠加上一个任意的函数 \(\alpha \cdot \eta \left( x \right )\) ，只要能使得 \(y\left( x \right)=Y\left( x \right)+\alpha \cdot \eta \left( x \right )\) 满足边界条件 $ \ref{1fun1varquadpremise}$ ，就有 \(\left. \left[ \frac{\mathrm{d}I\left( Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha} \right] \right|_{\alpha =0}=0\) 。其中 \(\alpha\) 是一个充分小的实数，我们期望它的行为类似于 \(\mathrm{d}x\) ， \(\eta \left( x \right )\) 是满足条件 $ \ref{1fun1varquad0premise}$ 的任意函数
\[\mathbb{Y}_{1,1,1}^{\left( 0 \right)}=\left\{ \eta\left( x \right) \left| \begin{array}{l}
\eta\left( x \right) \in C_{\left[ x_1,x_2 \right]}^{\left( 2 \right)}\\
\eta\left( x_1 \right) =0,\eta\left( x_2 \right) =0\\
\end{array} \right. \right\} \tag{2.4} \label{1fun1varquad0premise}
\]
注1： \(\alpha\) 理论上是可以任意实数，但实际上我们只会用到 \(\left. \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}I\left[ y\left( \cdot \right) \right] \right] \right|_{\alpha =0}\) ，所以我们可以把 \(\alpha\) 当作类似于 \(\varepsilon\) 的工具人（笑）。
注2： \(\eta\) 满足的 \(\mathbb{Y}_{1,1,1}^{\left( 0 \right)}\) 和 \(y\) 满足的 \(\mathbb{Y}_{1,1,1}\) 唯一区别就在于边界条件为零，这是为了确保 \(Y,y\in\mathbb{Y}_{1,1,1}\) 。
那么，就让我们来求一下 \(\left. \left[ \frac{\mathrm{d}I\left( Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha} \right] \right|_{\alpha =0}\) 吧！
首先
\[\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}I\left( Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_{x_1}^{x_2}{F\left( x,Y+\alpha \eta ,Y^\prime+\alpha \eta ^\prime \right) \mathrm{d}x}\\
&=\int_{x_1}^{x_2}{\left( \eta \frac{\partial F\left( x,Y+\alpha \eta ,Y^\prime+\alpha \eta ^\prime \right)}{\partial y}+\eta ^\prime\frac{\partial F\left( x,Y+\alpha \eta ,Y^\prime+\alpha \eta ^\prime \right)}{\partial y^\prime} \right) \mathrm{d}x}\\
\end{aligned}\tag{2.5} \label{1fun1varquadproof1}
\]
因此
\[\begin{aligned}
\left. \left[ \frac{\mathrm{d}I\left( Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha} \right] \right|_{\alpha =0}&=\int_{x_1}^{x_2}{\left( \eta \frac{\partial F\left( x,Y,Y^\prime \right)}{\partial y}+\eta ^\prime\frac{\partial F\left( x,Y,Y^\prime \right)}{\partial y^\prime} \right) \mathrm{d}x}\\
&=\int_{x_1}^{x_2}{\left( \eta \frac{\partial F}{\partial y}+\eta ^\prime\frac{\partial F}{\partial y^\prime} \right) \mathrm{d}x}\\
\end{aligned} \tag{2.6} \label{1fun1varquadproof2}
\]
针对积分 \(\int_{x_1}^{x_2}{\left( \eta ^\prime\frac{\partial F}{\partial y^\prime} \right) \mathrm{d}x}\) 应用一次分部积分，得到
\[\begin{aligned}
\int_{x_1}^{x_2}{\eta ^\prime\frac{\partial F}{\partial y^\prime}\mathrm{d}x}&=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{\partial F}{\partial y^\prime}\mathrm{d}\eta}\\
&=\left. \left( \eta \frac{\partial F}{\partial y^\prime} \right) \right|_{x=x_1}^{x=x_2}-\int_{x_1}^{x_2}{\eta \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime} \right) \mathrm{d}x}\\
&=-\int_{x_1}^{x_2}{\eta \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime} \right) \mathrm{d}x}\\
\end{aligned}\tag{2.7} \label{1fun1varquadproof3}
\]
结合 $ \ref{1fun1varquadproof2}$ 和 $ \ref{1fun1varquadproof3}$ 可以得到
\[\begin{aligned}
\left. \left[ \frac{\mathrm{d}I\left( Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha} \right] \right|_{\alpha =0}&=\int_{x_1}^{x_2}{\left( \eta \frac{\partial F}{\partial y}+\eta ^\prime\frac{\partial F}{\partial y^\prime} \right) \mathrm{d}x}\\
&=\int_{x_1}^{x_2}{\eta \left( \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime} \right) \mathrm{d}x}\\
\end{aligned} \tag{2.8} \label{1fun1varquadproof4}
\]
根据变分学基本引理 $ \ref{BaseQuote2}$ ，自然得到
\[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime} = 0 \tag{2.9} \label{1fun1varquadproof5}
\]
2.2、单方程单变量高次的欧拉方程的证明
实际上， $ \ref{1fun1varquadproof5}$ 很容易向高次情形推广。如果约定 \(\frac{\mathrm{d}^0}{\mathrm{d}x^0}y=y\) ， $ \ref{1fun1varquadproof5}$ 可以改写为
\[\sum_{k=0}^1{\left( -1 \right) ^k\left( \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}\frac{\partial F}{\partial y^{\left( k \right)}} \right)}=0 \tag{2.10}
\]
为什么要写得这么复杂呢？这是为了方便后续的推广。
定理内容
设高阶泛函
\[I\left[ y\left( \cdot \right) \right] = \int_{x_1}^{x_2} {F\left( x ,y ,y^\prime,y^{\prime\prime},\cdots,y^{\left( n \right)} \right)\mathrm{d}x} \tag{2.11} \label{1fun1varhighdef}
\]
其可取函数集为
\[\mathbb{Y}_{1,1,n}=\left\{ y\left( x \right) \left| \begin{array}{l}
y\left( x \right) \in C_{\left[ x_1,x_2 \right]}^{\left( 2n \right)}\\
y^{\left( k \right)}\left( x_1 \right) =y_1^{\left( k \right)},y^{\left( k \right)}\left( x_2 \right) =y_2^{\left( k \right)}, k=0,1,\cdots , n-1\\
\end{array} \right. \right\} \tag{2.12} \label{1fun1varhighpremise}
\]
\(Y\left(x\right) \in \mathbb{Y}_{1,1,n}\) 使泛函 \(\ref{1fun1varhighdef}\) 取得极小值的必要条件是： \(Y\left(x\right)\) 是微分方程 \(\ref{1fun1varhighsolution}\) 的解
\[F_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^\prime}+\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}F_{y^{\prime\prime}}+\cdots+\left(-1\right)^n \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}F_{y^{\left( n \right)}}=0 \tag{2.13} \label{1fun1varhighsolution}
\]
或者用求和的形式记录之，则为
\[\sum_{k=0}^{n}{\left( -1 \right) ^k\left( \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}\frac{\partial F}{\partial y^{\left( k \right)}} \right)}=0 \tag{2.14}
\]
其中 \(\frac{\partial F}{\partial y^{\left( k \right)}} =F_{y^{\left( k \right)}}\) 。
定理的理解与证明
该证明的核心就在于将 \(\eta^{\left(n\right)}\) 转化为 \(\eta\) ，然后用变分学基本引理进行证明。
回忆一下： \(1\) 阶情形的证明方式是进行 \(1\) 次分部积分。因此，我们不难想象 \(n\) 阶的证明也是基于 \(n\) 次分部积分。
我们不加证明（事实上，证明只需对函数进行 \(n\) 次分部积分即可，十分显明）地引入 \(n\) 次分部积分的引理——
若 \(\eta^{\left( k \right)}\left( x_1 \right) =0,\eta^{\left( k \right)}\left( x_2 \right) =0, k=0,1,\cdots , n-1\) ，则
\[\int_{x_1}^{x_2}{\eta ^{\left( n \right)}\frac{\partial F}{\partial y^{\left( n \right)}}\mathrm{d}x}=\left( -1 \right) ^n\int_{x_1}^{x_2}{\eta \left(\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left( n \right)}} \right)\mathrm{d}x} \tag{2.15} \label{PartIntQuote}
\]
后续的证明仿照 $ \ref{1fun1varquadproof5}$ 其实就水到渠成了。
首先
\[\begin{aligned}
\left. \left[ \frac{\mathrm{d}I\left( Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha} \right] \right|_{\alpha =0}&=\int_{x_1}^{x_2}{\left( \eta \frac{\partial F\left( x,Y,Y^\prime,\cdots,Y^{\left(n\right)} \right)}{\partial y}+\eta ^\prime\frac{\partial F\left( x,Y,Y^\prime \right)}{\partial y^\prime},\cdots,Y^{\left(n\right)} \right) \mathrm{d}x}\\
&=\int_{x_1}^{x_2}{\left( \eta \frac{\partial F}{\partial y}+\eta ^\prime\frac{\partial F}{\partial y^\prime}+\cdots++\eta ^{\left(n\right)}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}} \right) \mathrm{d}x}\\
\end{aligned} \tag{2.16} \label{1fun1varhighproof1}
\]
应用分部积分引理 $ \ref{PartIntQuote}$ 可以得到
\[\begin{aligned}
\left. \left[ \frac{\mathrm{d}I\left( Y+\alpha \eta \right)}{\mathrm{d}\alpha} \right] \right|_{\alpha =0}&=\int_{x_1}^{x_2}{\left( \eta \frac{\partial F}{\partial y}+\eta ^\prime\frac{\partial F}{\partial y^\prime}+\cdots+\eta ^{\left(n\right)}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}} \right) \mathrm{d}x}\\
&=\int_{x_1}^{x_2}{\eta \left( \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime}+\cdots+\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}} \right) \mathrm{d}x}\\
\end{aligned} \tag{2.17} \label{1fun1varhighproof2}
\]
根据变分学基本引理 $ \ref{BaseQuote2}$ ，自然得到
\[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime}+\cdots+\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}} = 0 \tag{2.18} \label{1fun1varhighproof3}
\]
2.3、单方程单变量习题——最短距离线与最速降线
最短距离线问题的变分求解
在本文开篇，我们用了一个脍炙人口的问题来引入。我们考虑过定点 \(\left(0,0\right)\) 和 \(\left(1,2\right)\) 的全体曲线，求满足条件的长度最短曲线。
显然地，根据我们的直觉，连接两者的线段即为所求，但这一直觉并不能构成一个证明。有人倾向于这一结论应当作为一个公理，不过通过变分的方法，我们至少可以证明：针对二次可微曲线而言，连接两者的线段即为长度最短曲线（当然，这或许涉嫌循环论证，因为微积分的相关公理体系中或许蕴含了「连接两者的线段即为长度最短曲线」这一条件）。
我们知道弧长表达式为
\[I\left[ y\left( \cdot \right) \right] = \int_0^1 {F\left( x ,y ,y^\prime \right)\mathrm{d}x} = \int_0^1 {\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}\mathrm{d}x}\tag{2.19}
\]
那么极值曲线应当是什么呢？利用 $ \ref{1fun1varquadproof5}$ 式，我们令 \(F\left( x ,y ,y^\prime \right)=\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}\) ，我们写出对应的欧拉方程——
\[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{y^{\prime}}{\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}} = \frac{y^{\prime\prime}\left( 1+\left(y^{\prime}\right)^2 \right)-\left(y^{\prime}\right)^2}{\left( 1+\left(y^{\prime}\right)^2 \right)^{3/2}} = 0 \tag{2.20}
\]
解出 \(y=C_1 x+C_2\) ，也就是全体一次函数，结合边界条件，可知：连接两者的线段即为长度最短曲线。
最速降线问题的变分求解
还有一个在数学史上经典的问题：给定两点 \(\left(0,0\right)\) 、 \(\left(x_2,y_2\right)\) 。从 \(\left(0,0\right)\) 处无初速度地释放一个小球，并用一个光滑曲面 \(y=y\left(x\right)\) 连接这两点，求什么样的曲面会使得到达 \(\left(x_2,y_2\right)\) 时间最短。
这一问题首先由伯努利提出。此后，牛顿、欧拉等著名大牛分别给出了他们的天秀解法，本文提到的变分法正是其中一个。因此，将最速降线问题作为变分法的例子，实在是再合适不过了。
我们考虑到 \(\mathrm{d} s=v\mathrm{d} t\) ，其中
- 根据弧长公式 \(\mathrm{d} s=\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2} \mathrm{d} x\)
- 根据能量守恒定律 \(v^2=2gy\) ，有 \(v=\sqrt{2gy}\)
因此， \(\mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d} s}{v} =\frac{\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2} }{\sqrt{2gy}}\mathrm{d} x\) ，对两端积分，可构造出泛函
\[T\left[ y\left( \cdot \right) \right] = \int_0^{x_2} {F\left( x ,y ,y^\prime \right)\mathrm{d}x} = \int_0^{x_2} {\frac{\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}}{\sqrt{y}} \mathrm{d}x}\tag{2.19}
\]
那么极值曲线应当是什么呢？利用 $ \ref{1fun1varquadproof5}$ 式，我们令 \(F\left( x ,y ,y^\prime \right)=\frac{1}{\sqrt{2g}}\frac{\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}}{\sqrt{y}}\) ，我们写出对应的欧拉方程——
\[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime} = \frac{1}{\sqrt{2g}}\left( -\frac{\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}}{2y\sqrt{y}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{y^{\prime}}{\sqrt{y}\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}} \right) = 0 \tag{2.20}
\]
经过化简可得
\[\frac{2y^\prime y^{\prime\prime}}{1+\left(y^{\prime}\right)^2}+\frac{y^\prime}{y}=0 \tag{2.21}
\]
对 \(\mathrm{d}x\) 积分得
\[\int{\left( \frac{2y^\prime y^{\prime\prime}}{1+\left(y^{\prime}\right)^2}+\frac{y^\prime}{y}\right) \mathrm{d}x}=\int{\left( \frac{\mathrm{d}\left(y^{\prime}\right)^2}{1+\left(y^{\prime}\right)^2}+\mathrm{d}\ln y \right) }=\mathrm{const} \tag{2.22}
\]
经过简单的化简，得到
\[y\left[1+\left(y^{\prime}\right)^2\right] = C \Rightarrow \sqrt{\frac{y}{C-y}}\mathrm{d}y=\pm \mathrm{d}x \tag{2.23}
\]
令 \(y=\frac{C}{2} \left(1-\cos u\right)\Rightarrow \mathrm{d}y=\frac{C}{2} \sin u\mathrm{d}u\) ，代入可得
\[\frac{C}{2} \left(1-\cos u\right)\mathrm{d}u = \pm \mathrm{d}x \Rightarrow x=\pm \frac{C}{2} \left( u-\sin u \right) \tag{2.24}
\]
这就证明了最速降线必为滚轮线。
3、多方程单变量欧拉方程
在实际问题中，我们可能遇到多个独立变元一起出现的约束极值问题，例如给出两个变元 \(y_1\left( x \right)\) 和 \(y_2\left( x \right)\) ，并令 \(F=y_1^{\prime2}+y_2^{\prime2}+2y_1y_2\) ，求泛函 \(I\left[ y_1\left(\cdot\right),y_2\left(\cdot\right) \right]=\int_{x_1}^{x_2}{F\left( x,y_1,y_2,y_1^\prime,y_2^\prime \right) \mathrm{d} x}\) 的极值。
3.1、两方程单变量一次的欧拉方程
先考虑两方程情形，令 \(y_k =Y_k+\alpha \eta_k, k=1,2\) ，并令
\[\begin{aligned}
\varPhi \left( \alpha \right) &=I\left[ y_1\left( \cdot \right) ,y_2\left( \cdot \right) \right]\\
&=\int_{x_1}^{x_2}{F\left( x,Y_1+\alpha \eta _1,Y_2+\alpha \eta _2,Y_{1}^{\prime}+\alpha \eta _{1}^{\prime},Y_{2}^{\prime}+\alpha \eta _{2}^{\prime} \right) \mathrm{d}x}\\
\end{aligned} \tag{3.1}
\]
则函数组 \(Y_k\) 使得泛函取得极值的必要条件为 \(\varPhi^\prime \left( 0 \right) = 0\) ，即
\[\int_{x_1}^{x_2}{ \left( \eta _1\frac{\partial F}{\partial y_1}+\eta _{1}^{\prime}\frac{\partial F}{\partial y_{1}^{\prime}} \right) \mathrm{d}x}+\int_{x_1}^{x_2}{ \left( \eta _2\frac{\partial F}{\partial y_2}+\eta _{2}^{\prime}\frac{\partial F}{\partial y_{2}^{\prime}} \right) \mathrm{d}x}=0 \tag{3.2}
\]
应用分部积分引理 $ \ref{PartIntQuote}$ 可以得到
\[\int_{x_1}^{x_2}{ \eta _1\left( \frac{\partial F}{\partial y_1}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_{1}^{\prime}} \right) \mathrm{d}x}+\int_{x_1}^{x_2}{ \eta _2\left( \frac{\partial F}{\partial y_2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_{2}^{\prime}} \right) \mathrm{d}x}=0 \tag{3.3}
\]
根据变分学基本引理 $ \ref{BaseQuote2}$ ，以及 \(\eta_1, \eta_2\) 的任意性（如 \(\eta_2=0\) ，此时就退化为了关于 \(\eta_1\) 的单方程，然后应用变分学基本引理），自然得到「两方程单变量一次的欧拉方程」，即如下方程组
\[\begin{cases}
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y_1}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_{1}^{'}}=0\\
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y_2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_{2}^{'}}=0\\
\end{cases} \tag{3.4} \label{2fun1varquadsolution}
\]
也就是说，对于两方程情形，对应泛函取到极值的必要条件为 \(\ref{2fun1varquadsolution}\) 。
3.2、多方程单变量高次的欧拉方程
显然， \(\ref{2fun1varquadsolution}\) 可以被自然地推广到多方程高次的情形。
先考虑 \(M\) 个方程的情形，令 \(y_m =Y_m+\alpha \eta_m, k=1,2,\cdots , M\) ，其中第 \(m\) 个方程涉及的最高阶导数为 \(N_m\) 阶，此时
\[\begin{aligned}
\varPhi \left( \alpha \right) &=I\left[ y_1\left( \cdot \right) ,\cdots ,y_M\left( \cdot \right) \right]\\
&=\int_{x_1}^{x_2}{F\left( x,Y_1+\alpha \eta _1,\cdots ,Y_{1}^{\left( N_1 \right)}+\alpha \eta _{1}^{\left( N_1 \right)},\cdots ,Y_M+\alpha \eta _M,\cdots ,Y_{M}^{\left( N_M \right)}+\alpha \eta _{M}^{\left( N_M \right)} \right) \mathrm{d}x}\\
\end{aligned} \tag{3.5}
\]
则函数组 \(Y_k\) 使得泛函取得极值的必要条件为 \(\varPhi^\prime \left( 0 \right) = 0\) ，即
\[\sum_{m=1}^M{\int_{x_1}^{x_2}{\left( \sum_{n=0}^{N_m}{\eta _{m}^{\left( n \right)}\frac{\partial F}{\partial y_{m}^{\left( n \right)}}} \right) \mathrm{d}x}}=0 \tag{3.6}
\]
对里面那一坨积分应用分部积分引理 $ \ref{PartIntQuote}$ 可以得到
\[\sum_{m=1}^M{\int_{x_1}^{x_2}{\eta _m\left( \sum_{n=0}^{N_m}{\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y_{m}^{\left( n \right)}}} \right) \mathrm{d}x}}=0 \tag{3.7}
\]
根据变分学基本引理 $ \ref{BaseQuote2}$ ，以及 \(\eta_1, \eta_2\) 的任意性（如 \(\eta_2,\eta_3,\cdots,\eta_M=0\) ，此时就退化为了关于 \(\eta_1\) 的单方程，然后应用变分学基本引理），自然得到「多方程单变量高次的欧拉方程」，即如下方程组
\[\begin{cases}
\displaystyle \sum_{n=0}^{N_1}{\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y_{1}^{\left( n \right)}}}=0\\
\displaystyle \sum_{n=0}^{N_2}{\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y_{2}^{\left( n \right)}}}=0\\
\vdots\\
\displaystyle \sum_{n=0}^{N_M}{\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y_{M}^{\left( n \right)}}}=0\\
\end{cases} \tag{3.8} \label{nfun1varhighsolution}
\]
也就是说，对于多方程高次情形，对应泛函取到极值的必要条件为 \(\ref{nfun1varhighsolution}\) 。
4、多方程多变量欧拉方程
通常来说，因为我们现实世界是三维的，所以我们会遇到多变量的函数。例如电场强度函数可能就是一个三维 \(\left(x,y,z\right)\) 函数，也就是三变量的函数。对于它的极值问题，我们依然可以类似地方法进行求解。
4.1、分部积分向高维的推广
我们将 \(\eta^\prime\) 转化为 \(\eta\) 中用到了一个重要的公式——分部积分公式。而分部积分公式基于「牛顿莱布尼茨公式」。而接下来我们要处理的函数，将是多变量的函数，此时我们就需要一个「高维的牛顿莱布尼茨公式」。幸运的是，我们高数学的「格林公式」和「高斯公式」正是「牛顿莱布尼茨公式」向高维的推广，它们的推广被称为「广义斯托克斯公式」。如果有对「广义斯托克斯公式」感兴趣的同学，可以看我的文章 从「广义斯托克斯公式」结合「外微分公式」导出「牛顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」_MamiyaHasaki的博客-CSDN博客 。
假设函数 \(\eta\left(x,y\right)\) 定义在区域 \(D\) 上，区域 \(D\) 的边界 \(\partial D=L\) ，并满足边界条件： \(\eta|_L =0\) 。
高数讲的格林公式是——
\[\iint_D{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{L}{P\mathrm{d}x+ Q\mathrm{d}y} \tag{4.1}
\]
将 \(Q=\eta \cdot f, P=0\) 代入，考虑到 \(\eta|_L =0\) ，得
\[\iint_D{\frac{\partial \left( \eta \cdot f \right)}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_L{\eta \left( f\mathrm{d}y \right)}=0 \tag{4.2}
\]
得
\[\iint_D{\left( \frac{\partial \eta}{\partial x} \right) f\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=-\iint_D{\eta \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \tag{4.3}
\]
如果我们假设 \(\eta|_L\) 满足 \(n-1\) 次边界条件，即 \(\eta|_L =0,\left.\frac{\partial \eta}{\partial x}\right|_L =0,\cdots ,,\left.\frac{\partial^{n-1} \eta}{\partial x^{n-1}}\right|_L =0\) ，那么就可以得到二维的 \(n\) 次分部积分公式
\[\iint_D{\left( \frac{\partial ^n\eta}{\partial x^n} \right) f\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\left( -1 \right) ^n\iint_D{\eta \left( \frac{\partial ^nf}{\partial x^n} \right) \cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \tag{4.4}
\]
同理，令 \(P=-\eta \cdot f, Q=0\) 代入
\[\iint_D{\left( \frac{\partial ^n\eta}{\partial y^n} \right) f\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\left( -1 \right) ^n\iint_D{\eta \left( \frac{\partial ^nf}{\partial y^n} \right) \cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \tag{4.5} \label{GreenIntQuote}
\]
当然，三维情形也是同理，我们采用高斯公式：
\[\iiint_{\Omega}{\left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V}=\oiint_{\partial \Omega}{\left( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma \right) \mathrm{d}S} \tag{4.6}
\]
考虑区域 \(\Omega\) 上的边界条件为 \(\eta|_{\partial \Omega}=0\) ，代入 \(P=\eta \cdot f,Q=0,R=0\) ，等式右端为 \(0\)
\[\iiint_{\Omega}{\frac{\partial \left( \eta \cdot f \right)}{\partial x}\mathrm{d}V}=0 \tag{4.7}
\]
进行分部积分得到
\[\iiint_{\Omega}{\left( \frac{\partial \eta}{\partial x} \right) f\mathrm{d}V}=-\iiint_{\Omega}{\eta \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \mathrm{d}V} \tag{4.8}
\]
仿照格林公式的方式，可以推广到每个维度的 \(n\) 次分部积分，这里就不赘述了。
因为二维、三维的情形已经够用了，所以下面的内容没有必要看。但我个人想要进行一个任意维度的证明，所以还是写了。建议不知道广义斯托克斯公式的同学直接跳过，或者先行阅读我的文章 从「广义斯托克斯公式」结合「外微分公式」导出「牛顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」_MamiyaHasaki的博客-CSDN博客 。
当然，我们可以将其自然地推广到 \(M\) 维情形，考虑广义斯托克斯公式
\[\int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega} \tag{4.9} \label{Stokes1}
\]
设 \(M\) 维函数 \(f=f\left( x_1, \cdots ,x_M\right)\) ，取 \(\omega\) 为 \(M-1\) 维的外微分形式
\[\begin{aligned}
\omega &=P_1\left( \mathrm{d}x_2\land \cdots \land \mathrm{d}x_M \right)\\
&+\cdots\\
&+P_m\left( \mathrm{d}x_{m+1}\land \cdots \land \mathrm{d}x_M\land \mathrm{d}x_1\land \cdots \land \mathrm{d}x_{m-1} \right)\\
&+\cdots\\
&+P_M\left( \mathrm{d}x_1\land \cdots \land \mathrm{d}x_{M-1} \right)\\
\end{aligned} \tag{4.10} \label{Stokes2}
\]
则它的微分 \(\mathrm{d}\omega\) 为
\[\begin{aligned}
\mathrm{d}\omega &=\left( \frac{\partial P_1}{\partial x_1}+\left( -1 \right) ^{M-1}\frac{\partial P_2}{\partial x_2}+\frac{\partial P_3}{\partial x_3}+\cdots +\left( -1 \right) ^{M-1}\frac{\partial P_M}{\partial x_M} \right) \left( \mathrm{d}x_1\land \cdots \land \mathrm{d}x_M \right)\\
&=\left( \sum_{m=1}^M{\left( -1 \right) ^{\left( M-1 \right) \left( m-1 \right)}\frac{\partial P_m}{\partial x_m}} \right) \left( \mathrm{d}x_1\land \cdots \land \mathrm{d}x_M \right)\\
\end{aligned} \tag{4.11} \label{Stokes3}
\]
令 \(Q_m=\left( -1 \right) ^{\left( M-1 \right) \left( m-1 \right)}P_m\) ，此时 \(\mathrm{d}\omega=\left( \frac{\partial Q_1}{\partial x_1}+\cdots +\frac{\partial Q_M}{\partial x_M} \right) \left( \mathrm{d}x_1\land \cdots \land \mathrm{d}x_M \right)\) ，结合 \(\ref{Stokes1}\) 、 \(\ref{Stokes2}\) 、 \(\ref{Stokes3}\) 得到 \(M\) 维的广义斯托克斯公式
\[\int_{\Omega}{\left( \sum_{m=1}^M{\frac{\partial Q_m}{\partial x_m}} \right) \left( \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_M \right)}=\int_{\partial \Omega}{P_1\left( \mathrm{d}x_2\cdots \mathrm{d}x_M \right) +\cdots P_M\left( \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_{M-1} \right)} \tag{4.12}
\]
令 \(Q_m =\left( -1 \right) ^{\left( M-1 \right) \left( m-1 \right)}P_m=\eta \cdot f\) ，其余为 \(P_k=0, k\neq m\) ，得到
\[\int_{\Omega}{\frac{\partial \left( \eta \cdot f \right)}{\partial x_m}\left( \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_M \right)}=\int_{\partial \Omega}{\eta \left( f\cdot \mathrm{d}x_{m+1}\cdots \mathrm{d}x_M\mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_{m-1} \right)}
\]
如果我们假设 \(\eta|_{\partial \Omega}\) 满足 \(n-1\) 次边界条件，即 \(\eta|_{\partial \Omega} =0,\left.\frac{\partial \eta}{\partial x}\right|_{\partial \Omega} =0,\cdots ,,\left.\frac{\partial^{n-1} \eta}{\partial x^{n-1}}\right|_{\partial \Omega} =0\) ，等式右端 \(\int_{\partial \Omega}\) 项为 \(0\) ，那么就可以得到 \(M\) 维的 \(n\) 次分部积分公式
\[\int_{\Omega}{\left( \frac{\partial ^n\eta}{\partial \left( x_m \right) ^n} \right) f\cdot \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_M}=\left( -1 \right) ^n\int_{\Omega}{\eta \left( \frac{\partial ^nf}{\partial \left( x_m \right) ^n} \right) \cdot \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_M} \tag{4.13} \label{HighIntQuote}
\]
4.2、单方程两变量一次的欧拉方程
定理内容
设多元泛函
\[I\left[ u\left( \cdot, \cdot \right) \right] = \iint_{D} {F\left( x ,y ,u,u_x,u_y \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y} \tag{4.14} \label{1fun2varquaddef}
\]
其可取函数集为
\[\mathbb{Y}_{1,2,1}=\left\{ y\left( x,y \right) \left| \begin{array}{l}
u\left( x,y \right) \in C_{D}^{\left(2\right)}\\
u|_{\partial D}=f\left( M \right)\\
\end{array} \right. \right\} \tag{4.15} \label{1fun2varquadpremise}
\]
其中 \(f\left(M\right)\) 是一个给定的已知函数，也就是边界条件。 \(u\left(x,y\right) \in \mathbb{Y}_{1,2,1}\) 使泛函 \(\ref{1fun2varquaddef}\) 取得极小值的必要条件是：
\[F_u-\frac{\partial}{\partial x}F_{u_x}-\frac{\partial}{\partial y}F_{u_y}=0 \tag{4.16} \label{1fun2varquadsolution}
\]
定理的理解与证明
令
\[\varPhi \left( \alpha \right) =\iint_D{F\left( x,y,U,U_x+\alpha \eta _x,U_y+\alpha \eta _y \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \tag{4.17}
\]
有
\[\varPhi ^\prime\left( 0 \right) =\iint_D{\left( \eta F_u+\eta _xF_{u_x}+\eta _yF_{u_y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \tag{4.18}
\]
应用二维分部积分公式，即式 \(\ref{GreenIntQuote}\) ，得
\[\begin{aligned}
\varPhi ^\prime\left( 0 \right) &=\iint_D{\left( \eta F_u+\eta _xF_{u_x}+\eta _yF_{u_y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}\\
&=\iint_D{\eta \left( F_u-\frac{\partial}{\partial x}F_{u_x}-\frac{\partial}{\partial y}F_{u_y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}\\
\end{aligned} \tag{4.19}
\]
结合必要条件 \(\varPhi ^\prime\left( 0 \right)=0\) 和变分学基本引理 $ \ref{BaseQuote2}$ 的自然推广（推广十分容易，此处不证），自然得到
\[F_u-\frac{\partial}{\partial x}F_{u_x}-\frac{\partial}{\partial y}F_{u_y}=0 \tag{4.20}
\]
4.3、多方程多变量高次的欧拉方程
经过前面的铺垫，这一推广是水到渠成的。但考虑到读者可能会跟不上节奏，所以还是一步一步来。
首先是单方程两变量两次的欧拉方程（ \(\ref{1fun2varquadsolution}\) 的自然推广），证明只需考虑 \(2\) 次二维分部积分即可——
\[F_u-\frac{\partial}{\partial x}F_{u_x}-\frac{\partial}{\partial y}F_{u_y}+\frac{\partial^2}{\partial x^2}F_{u_{xx}}+\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}F_{u_{xy}}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}F_{u_{yy}}=0 \tag{4.21} \label{1fun2var2solution}
\]
然后应用 \(\ref{HighIntQuote}\) ，并记求偏导算子 \(\mathrm{D}_m =\frac{\partial}{\partial x_m}\) ，就能将 \(\ref{1fun2var2solution}\) 推广到 \(M\) 变量、 \(N\) 次的形式了
\[\sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant N}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial F}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}u \right]} \right) \right\}}=0 \tag{4.22}
\]
与 \(\ref{nfun1varhighsolution}\) 进行相同的操作，得到 \(M\) 变量、 \(N\) 次、 \(P\) 方程的形式
\[\begin{cases}
\displaystyle \sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant N}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial F}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}u_1 \right]} \right) \right\}}=0\\
\vdots\\
\displaystyle \sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant N}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial F}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}u_P \right]} \right) \right\}}=0\\
\end{cases} \tag{4.23}
\]
额，写成 \(\sum\) 的形式看起来好像很反人类，不过像上面的公式一样，展开一下就会特别清晰了。反正实际上也用不到这么高维度的情形。主要是写成一个统一的形式后，可以加深理解。
5、变分
在微积分中，我们学了微分 \(\mathrm{d} x\) ，知道导数是 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) ，并且自变量的微小增量 \(\mathrm{d} x\) 会引起因变量的微小增量 \(\mathrm{d} y\) 。微积分的函数微小增量是实数，泛函的微小增量是函数，我们能不能类似微分 \(\mathrm{d} x\) 定义一个微小函数增量呢？
回忆我们在欧拉方程的求解方法：我们假设函数 \(y\left(x\right)\) 有一个微小增量 \(\alpha \cdot \eta\left(x\right)\) ，对 \(\alpha\) 求导，最终令 \(\alpha=0\) 。因此，我们记函数 \(y\left(x\right)\) 的微小增量为变分 \(y\left(x\right)-Y\left(x\right)=\delta y=\alpha \cdot \eta\left(x\right)\) ，其中 \(\delta y\) 的含义类似于微分 \(\mathrm{d}x\) 。我们将泛函写成参数 \(\alpha\) 的形式
\[I\left[ y\left( \cdot \right) \right] =\varPhi \left( \alpha \right) =\int_{x_1}^{x_2}{F\left( x,Y+\alpha \eta ,Y^\prime+\alpha \eta ^\prime \right) \mathrm{d}x} \tag{5.1}
\]
我们求解欧拉方程用了 \(\varPhi^\prime \left(0\right)\) ，所以我们把 \(\alpha \cdot \varPhi^\prime \left(0\right)\) 定义为 \(I\) 的变分 \(\delta I\) （与 \(\delta y=\alpha \cdot \eta\) 对应）。
变分的运算法则类似于高数微分的运算法则，故此处不予赘述，只对这些定理的部分进行列举
- 若 \(F\left( x,y,y^\prime \right) \Rightarrow \delta F=F\left( x,y+\alpha \eta ,y^\prime+\alpha \eta ^\prime \right) -F\left( x,y,y^\prime \right)\) 则 \(\delta F=\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y^\prime}\delta y^\prime\)
- 若 \(I\left[ y\left( \cdot \right) \right] =\int_{x_1}^{x_2}{F\left( x,Y+\alpha \eta ,Y^\prime+\alpha \eta ^\prime \right) \mathrm{d}x}\) 则 \(\delta I=\delta \int_{x_1}^{x_2}{ F \mathrm{d}x}=\int_{x_1}^{x_2}{\delta F \mathrm{d}x}\)
- 若 \(y=y\left( x \right)\) ，则 \(\delta y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\delta x\)
- 对于 \(F_1,F_2\) ，有 \(\delta \left( F_1+F_2 \right) =\delta F_1+\delta F_2\) 和 \(\delta \left( F_1F_2 \right) =F_1\delta F_2+F_2\delta F_1\)
同样的，我们可以证明一个重要的定理——
泛函 \(I\) 取到极值的必要条件为 \(\delta I=0\)
因此，我们可以用变分的语言，将上述定理重新证明一遍，此处不予赘述。至于引入变分的好处是什么，请看下一章节——「参数形式欧拉方程」。
6、参数形式欧拉方程
在上面的讨论中，我们已经研究完了多元函数、多约束方程、高阶导数约束情形的欧拉方程。然而，很多时候我们会对方程进行参数换元。因此，接下来，我们将研究参数情形的欧拉方程。
6.1、一自变量两因变量参数形式欧拉方程
我们考虑 \(y=y\left( x \right)\) 可以用参数方程 \(\begin{cases}x=x\left( t \right)\\y=y\left( t \right)\\ \end{cases}\) 形式进行表达。此时原泛函 \(I\left[ y\left( \cdot \right) \right] =\int_{x_1}^{x_2}{F\left( x,y,y^\prime \right) \mathrm{d}x}\) 转化为了 \(J\left[ x\left( \cdot \right) ,y\left( \cdot \right) \right] =\int_{t_1}^{t_2}{G\left( x,y,x^\prime,y^\prime \right) \mathrm{d}t}\)
我们考虑变分 \(\delta J\)
\[\begin{aligned}
\delta J&=\int_{t_1}^{t_2}{\delta G\left( x,y,x^\prime,y^\prime \right) \mathrm{d}t}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}{\left[ \frac{\partial G}{\partial x}\delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\delta y+\frac{\partial G}{\partial x^\prime}\delta x^\prime+\frac{\partial G}{\partial y^\prime}\delta y^\prime \right] \mathrm{d}t}\\
\end{aligned} \tag{6.1}
\]
令 \(\delta t=\alpha \cdot \eta\) ，此时 \(\delta x= \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \delta t\) 、 \(\delta y= \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \delta t\) ，结合分部积分公式 \(\int_{t_1}^{t_2}{\frac{\partial G}{\partial y^\prime}\delta y^\prime\mathrm{d}t}=-\int_{t_1}^{t_2}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial y^\prime}\delta y\mathrm{d}t}\) ，有
结合 \(\delta J=\alpha \cdot\varPhi^\prime \left(0\right)\) ， \(\varPhi\left(\alpha \right)=J\left[ x\left( \cdot \right) ,y\left( \cdot \right) \right]\) ，得
\[\begin{aligned}
\delta J&=\int_{t_1}^{t_2}{\left[ \frac{\partial G}{\partial x}\delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\delta y+\frac{\partial G}{\partial x^\prime}\delta x^\prime+\frac{\partial G}{\partial y^\prime}\delta y^\prime \right] \mathrm{d}t}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}{\left[ \frac{\partial G}{\partial x}\delta x+\frac{\partial G}{\partial y}\delta y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial G}{\partial x^\prime}\delta x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial G}{\partial y^\prime}\delta y \right] \mathrm{d}t}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}{\left[ \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial x^\prime} \right) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial y^\prime} \right) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right] \delta t\mathrm{d}t}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}{\left[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial x^\prime} \right) +\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial G}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial G}{\partial y^\prime} \right) \right] \delta t\mathrm{d}t}\\
\end{aligned} \tag{6.2}
\]
根据 \(\delta t\) 的任意性，由变分学基本引理，我们得到了参数方程形式的欧拉方程
\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial G}{\partial x^\prime} \right) +\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial G}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial G}{\partial y^\prime} \right) = 0\tag{6.3}
\]
或者记 \(G_x=\frac{\partial G}{\partial x}\) 、 \(G_{x^\prime}=\frac{\partial G}{\partial x^\prime}\) 、 \(G_y=\frac{\partial G}{\partial y}\) 、 \(G_{y^\prime}=\frac{\partial G}{\partial y^\prime}\) ，有
\[x^\prime\left( G_x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{x^\prime} \right) +y^\prime\left( G_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{y^\prime} \right) =0 \tag{6.4}
\]
6.2、多自变量多因变量参数形式欧拉方程
假设自变量为 \(M\) 个，因变量有 \(N\) 个，那么这代表着 \(N\) 维空间中的 \(M\) 维流形，其由 \(m\) 个独立方程确定。我们考虑 \(M=1,N=3\) 的情形，即为三维空间的参数曲线 \(\begin{cases}x=x\left( t \right)\\y=y\left( t \right)\\z=z\left( t \right)\\ \end{cases}\) ，类似地推导可以得出
\[x^\prime\left( G_x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{x^\prime} \right) +y^\prime\left( G_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{y^\prime} \right) +z^\prime\left( G_z-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{z^\prime} \right) =0 \tag{6.5}
\]
我们再考虑 \(N\) 维空间中的 \(M\) 维流形
\[\begin{cases}
x_1=x_1\left( t_1,\cdots ,t_M \right)\\
\vdots\\
x_N=x_N\left( t_1,\cdots ,t_M \right)\\
\end{cases} \tag{6.6}
\]
考虑最高为 \(1\) 次的泛函
\[J\left[ x_1,\cdots ,x_N \right] =\int_{\Omega}{G\left( x_1,\cdots x_N,\frac{\partial x_1}{\partial t_1},\cdots \frac{\partial x_1}{\partial t_M},\cdots ,\frac{\partial x_N}{\partial t_1},\cdots \frac{\partial x_N}{\partial t_M} \right) \mathrm{d}t_1\cdots \mathrm{d}t_M} \tag{6.7}
\]
则它的变分 \(\delta J\) 为（这里求和换来换去都快把我换晕了）
\[\begin{aligned}
\delta J&=\int_{\Omega}{\delta G\left( x_1,\cdots x_N,\frac{\partial x_1}{\partial t_1},\cdots \frac{\partial x_1}{\partial t_M},\cdots ,\frac{\partial x_N}{\partial t_1},\cdots \frac{\partial x_N}{\partial t_M} \right) \mathrm{d}t_1\cdots \mathrm{d}t_M}\\
&=\int_{\Omega}{\left[ \sum_{n=1}^N{\frac{\partial G}{\partial x_n}\delta x_n}+\sum_{n=1}^N{\sum_{m=1}^M{\frac{\partial G}{\partial \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_m} \right)}\delta \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_m} \right)}} \right] \mathrm{d}t_1\cdots \mathrm{d}t_M}\\
&=\int_{\Omega}{\left[ \sum_{n=1}^N{\frac{\partial G}{\partial x_n}\delta x_n}-\sum_{n=1}^N{\sum_{p=1}^M{\frac{\partial}{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_p} \right)}\delta x_n}} \right] \mathrm{d}t_1\cdots \mathrm{d}t_M}\\
&=\int_{\Omega}{\left[ \sum_{n=1}^N{\sum_{m=1}^M{\frac{\partial G}{\partial x_n}\frac{\partial x_n}{\partial t_m}\delta t_m}}-\sum_{n=1}^N{\left( \sum_{m=1}^M{\frac{\partial x_n}{\partial t_m}\delta t_m} \right) \left( \sum_{p=1}^M{\frac{\partial}{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_p} \right)}} \right)} \right] \mathrm{d}t_1\cdots \mathrm{d}t_M}\\
&=\int_{\Omega}{\left[ \sum_{m=1}^M{\delta t_m\sum_{n=1}^N{\frac{\partial G}{\partial x_n}\frac{\partial x_n}{\partial t_m}}}-\sum_{m=1}^M{\delta t_m\sum_{n=1}^N{\left( \frac{\partial x_n}{\partial t_m} \right) \left( \sum_{p=1}^M{\frac{\partial}{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_p} \right)}} \right)}} \right] \mathrm{d}t_1\cdots \mathrm{d}t_M}\\
&=\int_{\Omega}{\sum_{m=1}^M{\delta t_m\left[ \sum_{n=1}^N{\frac{\partial x_n}{\partial t_m}\left( \frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum_{p=1}^M{\frac{\partial}{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_p} \right)}} \right)} \right]}\mathrm{d}t_1\cdots \mathrm{d}t_M}\\
\end{aligned} \tag{6.8}
\]
根据 \(\delta t_m\) 的任意性，由变分学基本引理，我们得到了自变量为 \(M\) 个、因变量有 \(N\) 个的参数方程形式的欧拉方程
\[\begin{cases}
\displaystyle \sum_{n=1}^N{\frac{\partial x_n}{\partial t_1}\left( \frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum_{p=1}^M{\frac{\partial}{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_p} \right)}} \right)}=0\\
\vdots\\
\displaystyle \sum_{n=1}^N{\frac{\partial x_n}{\partial t_M}\left( \frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum_{p=1}^M{\frac{\partial}{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_p} \right)}} \right)}=0\\
\end{cases} \tag{6.9}
\]
当然，这一公式也可以推广到高次，记求偏导算子 \(\mathrm{D}_m =\frac{\partial}{\partial t_m}\) 并设最高次数为 \(Q\) ，则有
\[\begin{cases}
\displaystyle \sum_{n=1}^N{\frac{\partial x_n}{\partial t_1}\left( \sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant Q}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial G}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}x_n \right]} \right) \right\}} \right)}=0\\
\vdots\\
\displaystyle \sum_{n=1}^N{\frac{\partial x_n}{\partial t_M}\left( \sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant Q}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial G}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}x_n \right]} \right) \right\}} \right)}=0\\
\end{cases} \tag{6.10}
\]
上述公式纯属我手推的，不知道对不对，如果要使用的话，建议读者手动验算一下再用。
7、总结
首先，我们引入了最简单的欧拉方程 \(\ref{1fun1varquadproof5}\)
\[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime} = 0 \tag{2.9}
\]
然后，我们将其推广到了 \(n\) 次 \(\ref{1fun1varhighproof3}\)
\[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime}+\cdots+\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}} = 0 \tag{2.18}
\]
也可以用求和的形式记录它
\[\sum_{k=0}^{n}{\left( -1 \right) ^k\left( \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}\frac{\partial F}{\partial y^{\left( k \right)}} \right)}=0 \tag{2.14}
\]
然后我们考虑了涉及两个变元 \(y_1\left( x \right)\) 和 \(y_2\left( x \right)\) 情形，得到了 \(\ref{2fun1varquadsolution}\)
\[\begin{cases}
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y_1}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_{1}^{'}}=0\\
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y_2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y_{2}^{'}}=0\\
\end{cases} \tag{3.4}
\]
通过自然地推广，将其推广到 \(M\) 个方程，每个方程 \(N_m\) 次的情形，得到了 \(\ref{nfun1varhighsolution}\)
\[\begin{cases}
\displaystyle \sum_{n=0}^{N_1}{\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y_{1}^{\left( n \right)}}}=0\\
\displaystyle \sum_{n=0}^{N_2}{\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y_{2}^{\left( n \right)}}}=0\\
\vdots\\
\displaystyle \sum_{n=0}^{N_M}{\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y_{M}^{\left( n \right)}}}=0\\
\end{cases} \tag{3.8}
\]
为了将欧拉方程推广到多变量的情形，我们通过广义斯托克斯公式推导了 \(M\) 维的 \(n\) 次分部积分公式。
我们假设 \(\eta|_{\partial \Omega}\) 满足 \(n-1\) 次边界条件，即 \(\eta|_{\partial \Omega} =0,\left.\frac{\partial \eta}{\partial x}\right|_{\partial \Omega} =0,\cdots ,,\left.\frac{\partial^{n-1} \eta}{\partial x^{n-1}}\right|_{\partial \Omega} =0\) ，那么就可以得到 \(M\) 维的 \(n\) 次分部积分公式 \(\ref{HighIntQuote}\)
\[\int_{\Omega}{\left( \frac{\partial ^n\eta}{\partial \left( x_m \right) ^n} \right) f\cdot \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_M}=\left( -1 \right) ^n\int_{\Omega}{\eta \left( \frac{\partial ^nf}{\partial \left( x_m \right) ^n} \right) \cdot \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_M} \tag{4.13}
\]
我们将其与一维的分部积分公式对比
\[\begin{aligned}
& \int_L{\frac{\mathrm{d}\left( \eta f \right)}{\mathrm{d}x}\cdot \mathrm{d}x}=0\\
\Rightarrow& \int_L{\frac{\partial \eta}{\partial x}\cdot f\cdot \mathrm{d}x}=-\int_L{\eta \frac{\partial f}{\partial x}\cdot \mathrm{d}x}\\
\Rightarrow& \int_L{\frac{\partial ^n\eta}{\partial x^n}\cdot f\cdot \mathrm{d}x}=\left( -1 \right) ^n\int_L{\eta \left( \frac{\partial ^nf}{\partial x^n} \right) \cdot \mathrm{d}x}\\
\end{aligned} \tag{7.1}
\]
不难发现它们是一致的。于是，我们将欧拉方程推广到两变量函数、最高 \(1\) 次导数的情形 \(\ref{1fun2varquadsolution}\)
\[F_u-\frac{\partial}{\partial x}F_{u_x}-\frac{\partial}{\partial y}F_{u_y}=0 \tag{4.16}
\]
进而，我们推广到了两变量函数、最高 \(2\) 次导数 \(\ref{1fun2var2solution}\)
\[F_u-\frac{\partial}{\partial x}F_{u_x}-\frac{\partial}{\partial y}F_{u_y}+\frac{\partial^2}{\partial x^2}F_{u_{xx}}+\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}F_{u_{xy}}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}F_{u_{yy}}=0 \tag{4.21}
\]
然后，我们记偏导算子 \(\mathrm{D}_m =\frac{\partial}{\partial x_m}\) 作为求导算子 \(\mathrm{D} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\) 的推广。我们得到了 \(M\) 变量 \(N\) 次的欧拉方程
\[\sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant N}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial F}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}u \right]} \right) \right\}}=0 \tag{4.22}
\]
并且自然地将其推广为方程组 \(u_1,u_2,\cdots u_P\) 的情形，我们得到了 \(M\) 变量 \(N\) 次 \(P\) 方程的欧拉方程
\[\begin{cases}
\displaystyle \sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant N}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial F}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}u_1 \right]} \right) \right\}}=0\\
\vdots\\
\displaystyle \sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant N}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial F}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}u_P \right]} \right) \right\}}=0\\
\end{cases} \tag{4.23}
\]
在引入参数方程之前，我们先引入了变分的概念。变分类似于微分，只是是对泛函的“微分”。通过泛函 \(I\) 取到极值的必要条件为 \(\delta I=0\) 这一好用的结论，以及变分与微分运算性质一致的特性，我们可以让证明过程变得更加简洁明了。
最终，我们通过变分证明了参数方程形式的欧拉方程。首先是 \(1\) 自变量 \(2\) 因变量的欧拉方程
\[x^\prime\left( G_x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{x^\prime} \right) +y^\prime\left( G_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{y^\prime} \right) =0 \tag{6.4}
\]
然后是 \(1\) 自变量 \(3\) 因变量的欧拉方程
\[x^\prime\left( G_x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{x^\prime} \right) +y^\prime\left( G_y-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{y^\prime} \right) +z^\prime\left( G_z-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_{z^\prime} \right) =0 \tag{6.5}
\]
再推广到自变量为 \(M\) 个、因变量有 \(N\) 个的最高 \(1\) 次参数方程形式的欧拉方程
\[\begin{cases}
\displaystyle \sum_{n=1}^N{\frac{\partial x_n}{\partial t_1}\left( \frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum_{p=1}^M{\frac{\partial}{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_p} \right)}} \right)}=0\\
\vdots\\
\displaystyle \sum_{n=1}^N{\frac{\partial x_n}{\partial t_M}\left( \frac{\partial G}{\partial x_n}-\sum_{p=1}^M{\frac{\partial}{\partial t_p}\frac{\partial G}{\partial \left( \frac{\partial x_n}{\partial t_p} \right)}} \right)}=0\\
\end{cases} \tag{6.9}
\]
当然，这一公式也可以推广到高次，记求偏导算子 \(\mathrm{D}_m =\frac{\partial}{\partial t_m}\) 并设最高次数为 \(Q\) ，则有
\[\begin{cases}
\displaystyle \sum_{n=1}^N{\frac{\partial x_n}{\partial t_1}\left( \sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant Q}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial G}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}x_n \right]} \right) \right\}} \right)}=0\\
\vdots\\
\displaystyle \sum_{n=1}^N{\frac{\partial x_n}{\partial t_M}\left( \sum_{q_1+\cdots +q_m\leqslant Q}{\left( -1 \right) ^{q_1+\cdots +q_m}\left\{ \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m} \right] \left( \frac{\partial G}{\partial \left[ \left( \mathrm{D}_1 \right) ^{q_1}\cdots \left( \mathrm{D}_m \right) ^{q_m}x_n \right]} \right) \right\}} \right)}=0\\
\end{cases} \tag{6.10}
\]
虽然形式越到后面越丑陋，但我们只需要考虑低微情形，然后通过类比的方法自然推广，即可得到这些看似复杂的表达式。
这些表达式看似复杂，但本质上其实很简单。本质上都是下面这一表达式的自然推广
\[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^\prime}+\cdots+\left( -1 \right) ^n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac{\partial F}{\partial y^{\left(n\right)}} = 0 \tag{2.18}
\]
