BZOJ1951 [Sdoi2010]古代猪文

题目描述：

猪王国的文明源远流长，博大精深。

iPig在大肥猪学校图书馆中查阅资料，得知远古时期猪文文字总个数为N。当然，一种语言如果字数很多，字典也相应会很大。当时的猪王国国王考虑到如果修一本字典，规模有可能远远超过康熙字典，花费的猪力、物力将难以估量。故考虑再三没有进行这一项劳猪伤财之举。当然，猪王国的文字后来随着历史变迁逐渐进行了简化，去掉了一些不常用的字。

iPig打算研究古时某个朝代的猪文文字。根据相关文献记载，那个朝代流传的猪文文字恰好为远古时期的k分之一，其中k是N的一个正约数（可以是1和N）。不过具体是哪k分之一，以及k是多少，由于历史过于久远，已经无从考证了。

iPig觉得只要符合文献，每一种能整除N的k都是有可能的。他打算考虑到所有可能的k。显然当k等于某个定值时，该朝的猪文文字个数为N / k。然而从N个文字中保留下N / k个的情况也是相当多的。iPig预计，如果所有可能的k的所有情况数加起来为P的话，那么他研究古代文字的代价将会是G的P次方。

现在他想知道猪王国研究古代文字的代价是多少。由于iPig觉得这个数字可能是天文数字，所以你只需要告诉他答案除以999911659的余数就可以了。

 

题解：

其实就是数论的合集。

要用到费马小定理，快速幂，Lucas定理，中国剩余定理。

这里推荐一篇中国剩余定理的讲解：

https://www.cnblogs.com/yangsongyi/p/9867057.html

以及本题的：

https://www.cnblogs.com/342zhuyongqi/p/9855709.html

最后不要忘了特判！！！

最后附上代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=999911658;
typedef long long ll;
ll n,g,b[5]={0,2,3,4679,35617},f[50010],a[5],val;
ll mul(ll x,ll y,ll p)
{
    ll ans=0;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=(ans+x)%p;
        x=(x+x)%p;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll pow(ll x,ll y,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=mul(ans,x,p);
        x=mul(x,x,p);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
void work(ll p)
{
    f[0]=1;
    for(ll i=1;i<=p;i++)
        f[i]=mul(f[i-1],i,p);
}
ll C(ll x,ll y,ll p)
{
    if(x<y)
        return 0;
    return mul(f[x],mul(pow(f[y],p-2,p),pow(f[x-y],p-2,p),p),p);
}
ll lucas(ll x,ll y,ll p)
{
    if(x<y)
        return 0;
    if(x==0)
        return 1;
    return mul(lucas(x/p,y/p,p),C(x%p,y%p,p),p);
}
ll exgcd(ll ai,ll bi,ll &x,ll &y)
{
    if(bi==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ai;
    }
    ll cnt=exgcd(bi,ai%bi,x,y);
    ll idx=x;
    x=y;
    y=idx-ai/bi*y;
    return cnt;
}
ll excrt()
{
    ll x=0,y=0;
    ll M=b[1],ans=a[1];
    for(int i=2;i<=4;i++)
    {
        ll ai=M,bi=b[i],c=((a[i]-ans)%bi+bi)%bi;
        ll gcd=exgcd(ai,bi,x,y),idx=bi/gcd;
        if(c%gcd!=0)
            return -1;
        x=mul(x,c/gcd,idx);
        ans+=x*M;
        M*=idx;
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&g);
    if(g%(mod+1)==0)//特判很重要！！！
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=4;i++)
    {
        work(b[i]);
        for(ll j=1;j*j<=n;j++)
        {
            if(n%j==0)
            {
                a[i]=(a[i]+lucas(n,j,b[i]))%b[i];
                if(j*j!=n)
                    a[i]=(a[i]+lucas(n,n/j,b[i]))%b[i];
            }
        }
    }
    val=excrt();
    printf("%lld",pow(g,val,mod+1));
}