浅谈Matrix-Tree定理
首先介绍一下Matrix-Tree定理是干什莫用的:
Matrix-Tree定理用于图的生成树计数。复杂度为 $ O(n^3) $。
在学习Matrix-Tree定理之前,我们需要先了解离散拉普拉斯算子。
一.离散拉普拉斯算子
给定了一个图,我们先求出它的度数矩阵D和邻接矩阵A:
度数矩阵:D[x][x]
表示点x的度数,其他元素为0.
邻接矩阵:A[i][j]
代表i到j是否有边,有边则为1,无边则为0.
由此计算出基尔霍夫矩阵C:C=D-A
例子:三个点的完全图:
它的D矩阵(度数矩阵)是:
2 0 0
0 2 0
0 0 2
它的A矩阵(邻接矩阵)是:
0 1 1
1 0 1
1 1 0
它的C矩阵(基尔霍夫矩阵)是:
2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
我们把计算出基尔霍夫矩阵的运算称作离散拉普拉斯算子。
二.Matrix-Tree定理
Matrix-Tree定理的内容是:
对于一个基尔霍夫矩阵,随意去掉第r行第r列,留下的这个矩阵的行列式的绝对值,就是生成树的个数。
一般这样操作:对于一个基尔霍夫矩阵,扔掉最后一行和最后一列,算出它的行列式值即可。
还是看上面的例子。扔掉最后一行和最后一列,C矩阵变成:
2 -1
-1 2
它的行列式值为2*2-(-1)*(-1)=3.2×2−(−1)×(−1)=3.
所以这个图共有3个生成树。
三.行列式求值
如何求行列式的值?
我们只需要像高斯消元那样,把行列式弄成上三角矩阵,然后算出c[1][1]*c[2][2]*......*c[n][n],它就是行列式的值。
一个3*3的例子:
行列式:
2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
第一次消元后:
2 -1 -1
0 3 -3
0 -3 3
第二次消元后:
2 -1 -1
0 3 -3
0 0 0
然后算出2*3*0=0,它就是行列式的值
附上代码:
void getValue() { int a,i,j; double v; for(a=1;a<n;a++) for(i=a+1;i<=n;i++) { v=C[i][a]/C[a][a]; for(j=a;j<=n;j++) C[i][j]-=v*C[a][j]; } v=1; for(i=1;i<=n;i++) v*=C[i][i]; if(v<0) v=-v; printf("%.0f",v); }
一些值得考虑的问题
如何保证消元的精度?
采用列主元法消元。
假设我们现在考虑元p,我们就把p的系数绝对值最大的那一行,拿来消其他的行
如果消元时遇到所有列都为0怎么办?
正常情况下,不会遇到这种事情。
如果遇到了,说明整个图根本不连通,那生成树的个数显然是0了。0