具体数学第二版第三章习题（2）

16 根据$n$%3等于 0,1,2列三个方程然后计算出$a,b,c$的值，$a=1,b=\frac{w-1}{3},c=-\frac{w+2}{3}$

17 $\sum_{0\leq k<m}[x+\frac{k}{m}]$

$=\sum_{j,k}[0\leq k<m][1\leq j \leq x+\frac{k}{m}]$

$=\sum_{j,k}[0\leq k<m][1\leq j \leq \left \lceil x \right \rceil]-\sum_{k}[0\leq k <m(\left \lceil x \right \rceil-x)]$

$=m\left \lceil x \right \rceil-\left \lceil m(\left \lceil x \right \rceil-x) \right \rceil$

$=\left \lfloor mx \right \rfloor$

18 $S=\sum_{0\leq j <\left \lceil n\alpha \right \rceil}\sum_{k\geq n}[j\alpha^{-1}\leq k <(j+v)\alpha^{-1}]$

(1)如果$j\leq n\alpha -1\leq n\alpha -v\rightarrow (j+v)\alpha^{-1}\leq n$，那么此时$S=0$

（2）所以现在只需要考虑$j=\left \lfloor n\alpha \right \rfloor$。由于$j\alpha^{-1}=\frac{\left \lfloor n\alpha \right \rfloor}{\alpha}<n$所以$S=\sum [n\leq k<(\left \lfloor n\alpha \right \rfloor+v)\alpha^{-1}]=\left \lceil (\left \lfloor n\alpha \right \rfloor+v)\alpha^{-1} \right \rceil-n=\left \lceil n-\Delta +v\alpha^{-1} \right \rceil-n\leq \left \lceil v\alpha^{-1} \right \rceil$,其中$\Delta >0$

19 首先若$b$不是整数，那么等式在$x=b$时一定不成立。若$b$为整数，则$log(b)$取整数时必定有$x$为整数。那么根据公式$3.10$,恒成立。 

20 $x\sum_{k}k[\left \lceil \frac{\alpha}{x} \right \rceil\leq k \leq \left \lfloor \frac{\beta}{x} \right \rfloor]=\frac{x(p+q)(q-p+1)}{2}$

其中$p=\left \lceil \frac{\alpha}{x} \right \rceil,q=\left \lfloor \frac{\beta}{x} \right \rfloor$

21 如果$10^{n}\leq 2^M <10^{n+1}$,那么有$n+1$个$m$满足要求。假设$n=4,M=15$,那么满足要求的有$2^{0}=1,2^{4}=16,2^{7}=128,2^{10}=1024,2^{14}=16384$.所以答案为$1+\left \lfloor Mlog_{10}^{2} \right \rfloor$

22  假设$n=2^{t-1}q$，其中$q$为奇数。那么当$k=t$时，$\left \lfloor \frac{n}{2^{t}}+\frac{1}{2} \right \rfloor=\frac{q+1}{2},\left \lfloor \frac{n-1}{2^{t}}+\frac{1}{2} \right \rfloor=\frac{q-1}{2}$.

如果$k\neq t$，$\left \lfloor \frac{n}{2^{k}}+\frac{1}{2} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{n-1}{2^{k}}+\frac{1}{2} \right \rfloor$

所以$S_{n}=S_{n-1}+1,T_{n}=T_{n-1}+2^{k}q=T_{n-1}+2n$,所以$S_{n}=n,T_{n}=n(n+1)$

23 假设第$n$个数字是$t$，那么$[1,t-1]$一共有$\frac{t(t-1)}{2}$个数字，所以$\frac{t(t-1)}{2}<n\leq \frac{t(t+1)}{2}\leftrightarrow t^{2}-t<2n\leq t^{2}+t$,进而得到$ t^{2}-t+\frac{1}{4}<2n< t^{2}+t+\frac{1}{4}\leftrightarrow t-\frac{1}{2}<\sqrt{2n}<t+\frac{1}{2}\leftrightarrow \sqrt{2n}-\frac{1}{2}<t<\sqrt{2n}+\frac{1}{2}\Rightarrow t=\left \lfloor \sqrt{2n}+\frac{1}{2} \right \rfloor$

24   $N(\alpha,n)=\left \lceil \frac{n+1}{\alpha} \right \rceil-1$

$N(\frac{\alpha}{\alpha + 1},n)=\left \lceil \frac{(n+1)(\alpha + 1)}{\alpha} \right \rceil-1=(n+1)+\left \lceil \frac{n+1}{\alpha} \right \rceil-1=N(\alpha,n)+n+1$

所以数字$m$，其在$Spec(\frac{\alpha}{\alpha +1})$出现的次数比在$Spec(\alpha)$出现的次数多1.

25 如果存在$m$满足$K_{m}\leq m$，那么当$n=2m+1$时，$K_{n+1}\leq n<n+1$

假设这样的$m$存在。那么如果$m$是偶数，同样假设$K_{m/2}\leq \frac{m}{2}$,否则，需要存在一个数$t=\frac{m-1}{2}$，满足$K_{t}\leq t$.依次这样下去，可以得到$K_{0}\leq 0$

得到矛盾，所以一开始的假设错误，即不存在$m$满足$K_{m}\leq m$

所以$K_{n}>n$

26 前半部分很明显成立：$(\frac{q}{q-1})^{n}\leq D_{n}^{q}$

对于后半部分，由于$(q-1)((\frac{q}{q-1})^{n+1}-1)=\frac{q^{n+1}}{(q-1)^{n}}-(q-1)<\frac{q^{n+1}}{(q-1)^{n}}=q(\frac{q}{q-1})^{n}$

所以现在证明$D_{n}^{q}\leq (q-1)((\frac{q}{q-1})^{n+1}-1)$

当$n=0,1$时成立，假设对于$[0,n-1]$均成立

那么$D_{n}^{q}=\left \lceil \frac{q}{q-1}D_{n-1}^{q} \right \rceil\leq \left \lceil \frac{q}{q-1}(q-1)((\frac{q}{q-1})^{n}-1) \right \rceil$

$=\left \lceil \frac{q^{n+1}}{(q-1)^{n}} \right \rceil-q<\frac{q^{n+1}}{(q-1)^{n}}+1-q$

$=(q-1)((\frac{q}{q-1})^{n+1}-1)$

27 首先若第$n$项为偶数，即$D_{n}^{3}=2^{t}q$，$q$为奇数，那么$D_{n+t}^{3}=3^{t}q$为奇数；

若第$n$项为奇数，设为$D_{n}^{3}=2^mq-1$, $q$为奇数。那么$D_{n+1}^{3}=D_{n}^{3}+\left \lceil \frac{D_{n}^{3}}{2} \right \rceil=2^{m}q-1+2^{m-1}q=2^{m-1}*3q-1$,所以$D_{n+m}^{3}=3^{m}q-1$为偶数。

28 $a_{n}=m^{2}\rightarrow a_{n+2k+1}=(m+k)^{2}+m-k,a_{n+2k+2}=(m+k)^{2}+2m,0\leq k \leq m$

$\rightarrow a_{n+2m+1}=(2m)^{2}$

29 $s(\alpha,n,v)=-s(\alpha^{'},\left \lceil n\alpha \right \rceil,v^{'})-S+\varepsilon +\left \{ (0) or (1) \right \}$

$=-s(\alpha^{'},\left \lfloor n\alpha \right \rfloor,v^{'})-S+\varepsilon +\left \{ (0) or (1) \right \}-\left \{ (v^{'}) or(v^{'}-1)\right \}$

另外$|-S+\varepsilon +\left \{ (0) or (1) \right \}-\left \{ (v^{'}) or(v^{'}-1)\right \}|\leq |-S+\varepsilon -v^{'}|+2\leq \alpha^{-1}+2$

应用公式$a=b+c\rightarrow |a|\leq |b|+|c|$

可以得到$D(\alpha,n)\leq D(\alpha^{'},\left \lfloor n\alpha \right \rfloor)+\alpha^{-1}+2$

交换$s(\alpha,n,v),s(\alpha^{'},\left \lfloor n\alpha \right \rfloor,v^{'})$的顺序可以得到$D(\alpha^{'},\left \lfloor n\alpha \right \rfloor)\leq D(\alpha,n)+\alpha^{-1}+2$

30 可以用数学归纳法证明:$X_{n}=\alpha^{2^{n}}+\frac{1}{\alpha^{2^{n}}}$.而$\frac{1}{\alpha^{2^{n}}}<1$，同时$X_{n}$是整数，所以$X_{n}=\left \lceil \alpha^{2^{n}} \right \rceil$