具体数学第二版第三章习题（1）

1 $m=lg(n),l=n-m=n-lg(n)$

2 (1)$x=n.5$时向上取整：$\left \lfloor x+0.5 \right \rfloor$

(2)$x=n.5$时向下取整：$\left \lceil x-0.5 \right \rceil$

3 $\left \lfloor \frac{\left \lfloor m\alpha \right \rfloor n}{\alpha} \right \rfloor$

$=\left \lfloor \frac{(m\alpha - \left \{ m\alpha \right \})n}{\alpha} \right \rfloor$

$=\left \lfloor mn-\frac{\left \{ m\alpha \right \}n}{\alpha} \right \rfloor=mn-1$

其中$0<\left \{ m\alpha \right \}<1$

4 给定的真命题或者假命题。比如$2+3=5$，或者$3\neq 4$

5 将$x=\left \lfloor x \right \rfloor+\left \{ x \right \}$代入：

右侧=$\left \lfloor n\left \lfloor x \right \rfloor+n\left \{ x \right \} \right \rfloor=n\left \lfloor x \right \rfloor+\left \lfloor n\left \{ x \right \} \right \rfloor$

左侧=$n\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor +\left \{ x \right \}\right \rfloor=n\left \lfloor x \right \rfloor$

所以$\left \lfloor n\left \{ x \right \} \right \rfloor=0$，所以$\left \{ x \right \}<\frac{1}{n}$

6 $\left \lfloor f(x) \right \rfloor=\left \lfloor f(\left \lceil x \right \rceil) \right \rfloor$

$\left \lceil f(x) \right \rceil=\left \lceil f(\left \lfloor x \right \rfloor) \right \rceil$

7 $n$%$m+\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor$

8 (1)假设都小于$\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil$，那么有$n\leq (\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil-1)m$，即$\frac{n}{m}+1\leq \left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil$，这个式子恒不成立。

（2）假设都大于$\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor$,那么有$n\geq (\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor+1)m$,即$\frac{n}{m}-1\geq \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor$,这个式子恒不成立。

9 如果$n$%$m$=0，则显然成立。

否则，令$n=m(q-1)+t,0<t<m$,那么有$\frac{m}{n}-\frac{1}{q}=\frac{m-t}{nq}$,可以看到分子严格减少1.

10 令$0\leq p<1$。分两种情况考虑：

（1）$x=2k+1+p$,此时可以得到：如果$p<0.5$，那么答案为$2k+1$,否则为$2k+2$

（2）$x=2k+p$,此时可以得到：如果$p\leq0.5$，那么答案为$2k$,否则为$2k+1$

综上所述:如果$x\in(2k+0.5,2k+1.5)$，答案为$2k+1$,否则$x\in[2k-0.5,2k+0.5]$，答案为$2k$

11 $\alpha < n < \beta \leftrightarrow \left \lfloor \alpha \right \rfloor < n < \left \lceil \beta \right \rceil$.当$a,b$为整数时，满足$a<n<b$的$n$的个数为$(b-a-1)[a<b]$.所以当$\alpha=\beta=$整数时不成立。

12 令$n=km+t,0\leq t<m$,当$t=0$时显然成立。否则$\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil=k+1$,$\left \lfloor \frac{n+m-1}{m} \right \rfloor=k+\left \lfloor \frac{t+m-1}{m} \right \rfloor=k+1$

13(1)由后面向前证明比较简单，即若$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$且都为无理数，那么构成一个划分。

（2）由前向后证明：首先$\alpha,\beta$为有理数是必然是不行的，因为那样的话必然会存在两个整数$n_{1},n_{2}$使得$n_{1}\alpha=n_{2}\beta$.所以只需要讨论$\frac{n+1}{\alpha}+\frac{n+1}{\beta}-\left \{ \frac{n+1}{\alpha} \right \}-\left \{ \frac{n+1}{\beta} \right \}=n$是否在$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\neq1$的时候成立。

假设$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=0.999$，那么当$n$足够大比如 $n=100000$,这个等式必然不成立；
假设$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}==1.001$，那么当$n$足够大比如 $n=100000$,这个等式必然也不成立。

所以假设失败。

14 首先，如果$ny=0$时显然成立。

否则，$((x)mod(ny))mod(y)=(x-ny\left \lfloor \frac{x}{ny} \right \rfloor)mod(y)=(x)mod(y)$

所以恒成立。

15 $\left \lceil mx \right \rceil=\sum_{i=0}^{m-1}\left \lceil x-\frac{i}{m} \right \rceil$