微积分学习笔记六：级数 泰勒级数 微分方程

1、正项级数$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$收敛的充要条件是它的部分和$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$有上界。
2、正项级数常用的几种判别方法：
（1）对于$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{oo}v_{n}$，如果$u_{n}\leq v_{n}$，那么如果前者发散，后者发散，后者收敛前者收敛。
（2）对于$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{oo}v_{n}$，$l=\lim_{n\rightarrow oo}\frac{u_{n}}{v_{n}}(0\leq l<oo)$,若l>0则同时收敛或者同时发散，l=0前者发散后者发散，后者收敛则前者收敛。
（3）对于$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$，$l=\lim_{n\rightarrow oo}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$或者$l=\lim_{n\rightarrow oo}\sqrt[n]{u_{n}}$，l<1收敛；l=1不能确定；l>1发散。
（4）对于$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$，满足$u_{n}\geq u_{n+1}> 0$，且存在一个单调递减函数 f(x)，使得x取整数时 $f(n)=u_{n}$,那么级数与反常积分$\int_{1}^{oo}f(x)dx$有一样的敛散性。
3、交错级数判定：如果$u_{n}\geq u_{n+1}$且$\lim_{n\rightarrow oo}u_{n}=0$，那么级数收敛，且小于等于$u_{1}$。
4、对于任意项级数$\sum_{n=1}^{oo}u_{n}$，$l=\lim_{n\rightarrow oo}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$或者$l=\lim_{n\rightarrow oo}\sqrt[n]{u_{n}}$，l<1收敛；l>1发散。
5、泰勒中值定理：函数f(x)在含$x_{0}$的某个开区间(a,b)具有n+1阶导数，那么对(a,b)内任意一点x，有$f(x)=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n+R_{n}(x)$，其中$R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$，$\xi$是介于x和$x_{0}$之间的某个值。
6、若函数f(x)在$x_{0}$的某邻域内有任意阶导数，则级数$f(x)=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n+...$在该邻域内收敛于f(x)的充要条件是余项$R_{n}(x)$满足对于邻域内任何x,$\lim_{n\rightarrow oo}R_{n}(x)=0$。
7、 $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$
$sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+..$
$cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-...+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+..$
$ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}-...+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{(n)!}+.. (x\in (-1,1])$
8、$y^{''}+py^{'}+qy=f(x)$。f(x)=0，则为二阶常系数齐次线性微分方程。
9、$y^{''}+py^{'}+qy=0$的解：解方程$x^{2}+px+q=0$
（1）若$p^{2}-4q>0$，$r_{1}$与$r_{2}$是两个相异的实根，通解为$y=C^{1}e^{r_{1}x}+C^{2}e^{r_{2}x}$.
（2）若$p^{2}-4q=0$，解为$r_{1}$，通解为$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1}x}$
（3）若$p^{2}-4q<0$，$r_{1}=\alpha +i\beta $,$r_{2}=\alpha -i\beta $,$\alpha=-\frac{p}{2}$,$\beta =\frac{\sqrt{4q-p^{2}}}{2}$,$i=\sqrt{-1}$,通解为$y=C_{1}e^{(\alpha+i\beta )x}+C_{2}e^{(\alpha-i\beta )x}=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$