积性函数和狄利克雷卷积小结

1、积性函数：对于函数$f(n)$，若满足对任意互质的数字a,b，a*b=n且$f(n)=f(a)f(b)$，那么称函数f为积性函数。显然f(1)=1。

2、狄利克雷卷积：对于函数f,g,定义它们的卷积为$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$。

3、两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数。
证明：
设f,g的狄利克雷卷积为h，即$h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$,设n=a*b,a或b为1时显然成立，下面证明a和b均不为1
设$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{m}^{\alpha _{m}},a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{k}^{\alpha _{k}},b=p_{k+1}^{\alpha _{k+1}}p_{k+2}^{\alpha _{k+2}}...p_{m}^{\alpha _{m}}$
其中$m\geq 2,1\leq k\leq m-1$
$h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$
$h(a)=\sum_{d1|n}f(d1)g(\frac{a}{d1})$
$h(b)=\sum_{d2|n}f(d2)g(\frac{b}{d2})$
首先h(n)等号右侧有$\prod_{i=1}^{m}(\alpha _{i}+1)$项，h(a)等号右侧有$\prod_{i=1}^{k}(\alpha _{i}+1)$项,h(b)等号右侧有$\prod_{i=k+1}^{m}(\alpha _{i}+1)$项,，所以h(n)和h(a)h(b)的项数是一样的。
其次，对于h(n)右侧的每一项，设某一项为f(x)g(y)，
$x=p_{1}^{\beta _{1}}p_{2}^{\beta _{2}}...p_{m}^{\beta _{m}}$,
$y=p_{1}^{\gamma _{1}}p_{2}^{\gamma _{2}}...p_{m}^{\gamma _{m}}$,
一定存在$X=p_{1}^{\beta _{1}+\gamma _{1}}p_{2}^{\beta _{2}+\gamma _{2}}...p_{k}^{\beta _{k}+\gamma _{k}}$,$Y=p_{k+1}^{\beta _{k+1}+\gamma _{k+1}}p_{k+2}^{\beta _{k+2}+\gamma _{k+2}}...p_{m}^{\beta _{m}+\gamma _{m}}$，使得f(X)是h(a)右侧的项，g(Y)是h(b)右侧的项，由于f,g都是积性函数，那么f(X)g(Y)=f(x)g(y)。
因此，h(n)=h(a)h(b)。

4、欧拉函数是积性函数。
设$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{m}^{\alpha _{m}},a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{k}^{\alpha _{k}},b=p_{k+1}^{\alpha _{k+1}}p_{k+2}^{\alpha _{k+2}}...p_{m}^{\alpha _{m}}$,
那么$\varphi (n)=n\prod_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_{i}})$,
$\varphi (a)=a\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_{i}})$,
$\varphi (b)=b\prod_{i=k+1}^{m}(1-\frac{1}{p_{i}})$,
由于n=ab，显然$\varphi (n)=\varphi (a)\varphi (b)$

5、莫比乌斯函数($\mu$)是积性函数。由莫比乌斯函数的定义，分1，-1，0讨论就好。

6、莫比乌斯反演：对于函数f(n)和F(n)，若$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$，那么$f(n)=\sum_{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$。